Analysis Beispiele

$x^{2} y + y x^{2} = 6$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (x^{2} y + y x^{2}) = \frac{d}{d y} (6)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y + y x^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} y] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [x^{2} y]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x^{2}$ und $g (y) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 u_{1} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x$ .

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x^{2} \cdot 1 + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + y (2 x x') + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Schritt 2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + \frac{d}{d y} [y x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y$ und $g (y) = x^{2}$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y \frac{d}{d y} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x \frac{d}{d y} [x]) + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} + 2 y x x' + y (2 x x') + x^{2} \cdot 1$

Schritt 2.3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 \cdot y x x' + x^{2} \cdot 1$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + 2 y x x' + 2 y x x' + x^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.1.1

Addiere $2 y x x'$ und $2 y x x'$ .

$x^{2} + 4 y x x' + x^{2}$

Schritt 2.4.1.2

Addiere $x^{2}$ und $x^{2}$ .

$2 x^{2} + 4 y x x'$

Schritt 2.4.2

Stelle die Terme um.

$2 x^{2} + 4 x y x'$

Schritt 3

Da $6$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $6$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x^{2} + 4 x y x' = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x y x' = - 2 x^{2}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x y x' = - 2 x^{2}$ durch $4 x y$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x y x' = - 2 x^{2}$ durch $4 x y$ .

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x y x'}{4 x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y x'}{x y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Schritt 5.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y x'}{y} = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Schritt 5.2.2.3.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- 2 x^{2}}{4 x y}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{4 x y}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x y$ heraus.

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{2 (- x^{2})}{2 (2 x y)}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$x' = \frac{x (- x)}{2 x y}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Schritt 5.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Schritt 5.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{- x}{2 y}$

Schritt 5.2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{x}{2 y}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{2 y}$