Analysis Beispiele

$x^{3} - y^{3} = 2 x y$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d y} (2 x y)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - y^{3}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{3}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [- y^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{3}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} x' - \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} x' - (3 y^{2})$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} x' - 3 y^{2}$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [x y]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y$ .

$2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$2 (x + y \frac{d}{d y} [x])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$2 (x + y x')$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x + 2 (y x')$

Schritt 3.5.2

Stelle die Terme um.

$2 y x' + 2 x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x' = 2 y x' + 2 x$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 y x'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 2 y x' = 2 x$

Schritt 5.2

Addiere $3 y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} x' - 2 y x' = 2 x + 3 y^{2}$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x'$ aus $3 x^{2} x' - 2 y x'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x'$ aus $3 x^{2} x'$ heraus.

$x' (3 x^{2}) - 2 y x' = 2 x + 3 y^{2}$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x'$ aus $- 2 y x'$ heraus.

$x' (3 x^{2}) + x' (- 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' (3 x^{2}) + x' (- 2 y)$ heraus.

$x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$ durch $3 x^{2} - 2 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (3 x^{2} - 2 y) = 2 x + 3 y^{2}$ durch $3 x^{2} - 2 y$ .

$\frac{x' (3 x^{2} - 2 y)}{3 x^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 x^{2} - 2 y$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (3 x^{2} - 2 y)}{3 x^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{2 x}{3 x^{2} - 2 y} + \frac{3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{2 x + 3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{2 x + 3 y^{2}}{3 x^{2} - 2 y}$