Analysis Beispiele

$x^{2} - y^{2} = 9$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (x^{2} - y^{2}) = \frac{d}{d y} (9)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$2 x \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$2 x x' + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$2 x x' - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x x' - (2 y)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 x x' - 2 y$

Schritt 3

Da $9$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 x x' - 2 y = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x x' = 2 y$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x x' = 2 y$ durch $2 x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x x' = 2 y$ durch $2 x$ .

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x x'}{2 x} = \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x x'}{x} = \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x x'}{x} = \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.2.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x' = \frac{2 y}{2 x}$

Schritt 5.2.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x' = \frac{y}{x}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y}{x}$