Analysis Beispiele

${(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3} = x^{5} + y^{5}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} ({(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3}) = \frac{d}{d y} (x^{5} + y^{5})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von ${(x - y)}^{3} + {(x + y)}^{3}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [{(x - y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ .

$\frac{d}{d y} [{(x - y)}^{3}] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [{(x - y)}^{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{3}$ und $g (y) = x - y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x - y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x - y] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x - y] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x - y$ .

$3 {(x - y)}^{2} \frac{d}{d y} [x - y] + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$3 {(x - y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$3 {(x - y)}^{2} (x' + \frac{d}{d y} [- y]) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Schritt 2.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1 \cdot 1) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + \frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [{(x + y)}^{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{3}$ und $g (y) = x + y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x + y$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d y} [x + y]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x + y$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} \frac{d}{d y} [x + y]$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} (x' + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(x - y)}^{2} (x' - 1) + 3 {(x + y)}^{2} (x' + 1)$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x - y)}^{2} \cdot - 1 + 3 {(x + y)}^{2} (x' + 1)$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x - y)}^{2} \cdot - 1 + 3 {(x + y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} \cdot 1$

Schritt 2.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 {(x - y)}^{2} x' - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} \cdot 1$

Schritt 2.4.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 {(x - y)}^{2} x' - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x + y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2}$

Schritt 2.4.4

Stelle die Terme um.

$3 {(x + y)}^{2} - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.5.1

Schreibe ${(x + y)}^{2}$ als $(x + y) (x + y)$ um.

$3 ((x + y) (x + y)) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.2

Multipliziere $(x + y) (x + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x (x + y) + y (x + y)) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x \cdot x + x y + y (x + y)) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.5.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.3.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 (x^{2} + x y + y x + y^{2}) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.3.2

Addiere $x y$ und $y x$ .

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Schritt 2.4.5.3.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$3 (x^{2} + x y + x y + y^{2}) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.3.2.2

Addiere $x y$ und $x y$ .

$3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 3 (2 x y) + 3 y^{2} - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 x^{2} + 6 (x y) + 3 y^{2} - 3 {(x - y)}^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.6

Schreibe ${(x - y)}^{2}$ als $(x - y) (x - y)$ um.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 ((x - y) (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.7

Multipliziere $(x - y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.5.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x (x - y) - y (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.5.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.5.8.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.8.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - y (- y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.8.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.8.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.5.8.1.4.1

Bewege $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.8.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.8.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.8.1.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - y x + y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.8.2

Subtrahiere $y x$ von $- x y$ .

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Schritt 2.4.5.8.2.1

Bewege $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.8.2.2

Subtrahiere $x y$ von $- x y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.9

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} - 3 (- 2 x y) - 3 y^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 (x y) - 3 y^{2} + 3 {(x - y)}^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.11

Schreibe ${(x - y)}^{2}$ als $(x - y) (x - y)$ um.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 ((x - y) (x - y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.12

Multipliziere $(x - y) (x - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.5.12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x (x - y) - y (x - y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.13

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.5.13.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.5.13.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.13.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - y (- y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.13.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.13.1.4

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.5.13.1.4.1

Bewege $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.13.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.13.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.13.1.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - y x + y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.13.2

Subtrahiere $y x$ von $- x y$ .

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Schritt 2.4.5.13.2.1

Bewege $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.13.2.2

Subtrahiere $x y$ von $- x y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 (x^{2} - 2 x y + y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.14

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + (3 x^{2} + 3 (- 2 x y) + 3 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.15

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + (3 x^{2} - 6 (x y) + 3 y^{2}) x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.16

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 {(x + y)}^{2} x'$

Schritt 2.4.5.17

Schreibe ${(x + y)}^{2}$ als $(x + y) (x + y)$ um.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 ((x + y) (x + y)) x'$

Schritt 2.4.5.18

Multipliziere $(x + y) (x + y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.4.5.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x (x + y) + y (x + y)) x'$

Schritt 2.4.5.18.2

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x \cdot x + x y + y (x + y)) x'$

Schritt 2.4.5.18.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) x'$

Schritt 2.4.5.19

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.4.5.19.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.5.19.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) x'$

Schritt 2.4.5.19.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + x y + y x + y^{2}) x'$

Schritt 2.4.5.19.2

Addiere $x y$ und $y x$ .

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Schritt 2.4.5.19.2.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + x y + x y + y^{2}) x'$

Schritt 2.4.5.19.2.2

Addiere $x y$ und $x y$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 (x^{2} + 2 x y + y^{2}) x'$

Schritt 2.4.5.20

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + (3 x^{2} + 3 (2 x y) + 3 y^{2}) x'$

Schritt 2.4.5.21

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + (3 x^{2} + 6 (x y) + 3 y^{2}) x'$

Schritt 2.4.5.22

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Schritt 2.4.6

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{2} + 6 x y + 3 y^{2} - 3 x^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$ .

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Schritt 2.4.6.1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$6 x y + 3 y^{2} + 0 + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Schritt 2.4.6.2

Addiere $6 x y + 3 y^{2}$ und $0$ .

$6 x y + 3 y^{2} + 6 x y - 3 y^{2} + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Schritt 2.4.6.3

Subtrahiere $3 y^{2}$ von $3 y^{2}$ .

$6 x y + 6 x y + 0 + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Schritt 2.4.6.4

Addiere $6 x y + 6 x y$ und $0$ .

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' - 6 x y x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 6 x y x' + 3 y^{2} x'$

Schritt 2.4.6.5

Addiere $- 6 x y x'$ und $6 x y x'$ .

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 0 + 3 y^{2} x'$

Schritt 2.4.6.6

Addiere $6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x'$ und $0$ .

$6 x y + 6 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x'$

Schritt 2.4.7

Addiere $6 x y$ und $6 x y$ .

$12 x y + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 x^{2} x' + 3 y^{2} x'$

Schritt 2.4.8

Addiere $3 x^{2} x'$ und $3 x^{2} x'$ .

$12 x y + 6 x^{2} x' + 3 y^{2} x' + 3 y^{2} x'$

Schritt 2.4.9

Addiere $3 y^{2} x'$ und $3 y^{2} x'$ .

$12 x y + 6 x^{2} x' + 6 y^{2} x'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} + y^{5}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{5}] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d y} [x^{5}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{5}$ und $g (y) = x$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$5 x^{4} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$5 x^{4} x' + \frac{d}{d y} [y^{5}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} x' + 5 y^{4}$

Schritt 3.3.2

Stelle die Terme um.

$5 y^{4} + 5 x^{4} x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$12 x y + 6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' = 5 y^{4} + 5 x^{4} x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $5 x^{4} x'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 x y + 6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x' = 5 y^{4}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $12 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x' = 5 y^{4} - 12 x y$

Schritt 5.3

Faktorisiere $x'$ aus $6 x^{2} x' + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $x'$ aus $6 x^{2} x'$ heraus.

$x' (6 x^{2}) + 6 y^{2} x' - 5 x^{4} x' = 5 y^{4} - 12 x y$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $x'$ aus $6 y^{2} x'$ heraus.

$x' (6 x^{2}) + x' (6 y^{2}) - 5 x^{4} x' = 5 y^{4} - 12 x y$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $x'$ aus $- 5 x^{4} x'$ heraus.

$x' (6 x^{2}) + x' (6 y^{2}) + x' (- 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$

Schritt 5.3.4

Faktorisiere $x'$ aus $x' (6 x^{2}) + x' (6 y^{2})$ heraus.

$x' (6 x^{2} + 6 y^{2}) + x' (- 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$

Schritt 5.3.5

Faktorisiere $x'$ aus $x' (6 x^{2} + 6 y^{2}) + x' (- 5 x^{4})$ heraus.

$x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$ durch $6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}) = 5 y^{4} - 12 x y$ durch $6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}$ .

$\frac{x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4})}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} = \frac{5 y^{4}}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} + \frac{- 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4})}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} = \frac{5 y^{4}}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} + \frac{- 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{5 y^{4}}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}} + \frac{- 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{5 y^{4} - 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Schritt 5.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $5 y^{4} - 12 x y$ heraus.

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Schritt 5.4.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $5 y^{4}$ heraus.

$x' = \frac{y (5 y^{3}) - 12 x y}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Schritt 5.4.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- 12 x y$ heraus.

$x' = \frac{y (5 y^{3}) + y (- 12 x)}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Schritt 5.4.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y (5 y^{3}) + y (- 12 x)$ heraus.

$x' = \frac{y (5 y^{3} - 12 x)}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{y (5 y^{3} - 12 x)}{6 x^{2} + 6 y^{2} - 5 x^{4}}$