Analysis Beispiele

$y = 4 x^{2} - 24 x + 31$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 4 x^{2} - 24 x + 31$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $4 x^{2} - 24 x + 31 = 0$ um.

$4 x^{2} - 24 x + 31 = 0$

Schritt 1.2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.3

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 24$ und $c = 31$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{24 \pm \sqrt{{(- 24)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 31)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 4 \cdot 31}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 31$ .

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Schritt 1.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 16 \cdot 31}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $31$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 496}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.1.3

Subtrahiere $496$ von $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.1.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 1.2.4.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{24 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{24 \pm 4 \sqrt{5}}{8}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache $\frac{24 \pm 4 \sqrt{5}}{8}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 4 \cdot 31}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 31$ .

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Schritt 1.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 16 \cdot 31}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $31$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 496}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.1.3

Subtrahiere $496$ von $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.1.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 1.2.5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{24 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{24 \pm 4 \sqrt{5}}{8}$

Schritt 1.2.5.3

Vereinfache $\frac{24 \pm 4 \sqrt{5}}{8}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 1.2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{6 + \sqrt{5}}{2}$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 4 \cdot 4 \cdot 31}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 31$ .

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Schritt 1.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 16 \cdot 31}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $31$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 496}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.6.1.3

Subtrahiere $496$ von $576$ .

$x = \frac{24 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.6.1.4

Schreibe $80$ als $4^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 1.2.6.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $80$ heraus.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.6.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{24 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{24 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{24 \pm 4 \sqrt{5}}{8}$

Schritt 1.2.6.3

Vereinfache $\frac{24 \pm 4 \sqrt{5}}{8}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{5}}{2}$

Schritt 1.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{6 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{6 + \sqrt{5}}{2}, \frac{6 - \sqrt{5}}{2}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{6 + \sqrt{5}}{2}, 0), (\frac{6 - \sqrt{5}}{2}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 4 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 31$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 4 \cdot 0^{2} - 24 \cdot 0 + 31$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 4 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 31$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $4 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 31$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 24 \cdot 0 + 31$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$y = 0 - 24 \cdot 0 + 31$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 24$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 31$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 31$

Schritt 2.2.3.2.2

Addiere $0$ und $31$ .

$y = 31$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 31)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{6 + \sqrt{5}}{2}, 0), (\frac{6 - \sqrt{5}}{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 31)$

Schritt 4