Analysis Beispiele

$y = (x - 2) \sqrt{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = (x - 2) \sqrt{x^{2} + 1}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $(x - 2) \sqrt{x^{2} + 1} = 0$ um.

$(x - 2) \sqrt{x^{2} + 1} = 0$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \sqrt{x^{2} + 1} - 2 \sqrt{x^{2} + 1} = 0$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 \sqrt{x^{2} + 1} = 0$

Schritt 1.2.3.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.4.1

Es sei $u = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u$ für alle ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x u - 2 u = 0$

Schritt 1.2.4.2

Faktorisiere $u$ aus $x u - 2 u$ heraus.

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Schritt 1.2.4.2.1

Faktorisiere $u$ aus $x u$ heraus.

$u x - 2 u = 0$

Schritt 1.2.4.2.2

Faktorisiere $u$ aus $- 2 u$ heraus.

$u x + u \cdot - 2 = 0$

Schritt 1.2.4.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u x + u \cdot - 2$ heraus.

$u (x - 2) = 0$

Schritt 1.2.4.3

Ersetze alle $u$ durch ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 2) = 0$

Schritt 1.2.5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.6

Setze ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ gleich $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 1.2.6.2

Löse ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.1

Setze $x^{2} + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Schritt 1.2.6.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 1$

Schritt 1.2.6.2.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 1.2.6.2.2.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 1.2.6.2.2.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.6.2.2.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 1.2.6.2.2.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 1.2.6.2.2.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 1.2.7

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.7.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 1.2.7.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 1.2.8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = i, - i, 2$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = ((0) - 2) \sqrt{{(0)}^{2} + 1}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = (0 - 2) \sqrt{{(0)}^{2} + 1}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (0 - 2) \sqrt{0^{2} + 1}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = ((0) - 2) \sqrt{{(0)}^{2} + 1}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $((0) - 2) \sqrt{{(0)}^{2} + 1}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$y = - 2 \sqrt{{(0)}^{2} + 1}$

Schritt 2.2.4.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = - 2 \sqrt{0 + 1}$

Schritt 2.2.4.3

Addiere $0$ und $1$ .

$y = - 2 \sqrt{1}$

Schritt 2.2.4.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = - 2 \cdot 1$

Schritt 2.2.4.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$y = - 2$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 2)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(2, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 2)$

Schritt 4