Analysis Beispiele

$y = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5 = 0$ um.

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.2.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 1.2.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 5, \pm 2.5$

Schritt 1.2.2.3

Setze $5$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $5$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.2.2.3.1

Setze $5$ in das Polynom ein.

$2 \cdot 5^{3} - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

Schritt 1.2.2.3.2

Potenziere $5$ mit $3$ .

$2 \cdot 125 - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

Schritt 1.2.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $125$ .

$250 - 3 \cdot 5^{2} - 36 \cdot 5 + 5$

Schritt 1.2.2.3.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$250 - 3 \cdot 25 - 36 \cdot 5 + 5$

Schritt 1.2.2.3.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $25$ .

$250 - 75 - 36 \cdot 5 + 5$

Schritt 1.2.2.3.6

Subtrahiere $75$ von $250$ .

$175 - 36 \cdot 5 + 5$

Schritt 1.2.2.3.7

Mutltipliziere $- 36$ mit $5$ .

$175 - 180 + 5$

Schritt 1.2.2.3.8

Subtrahiere $180$ von $175$ .

$- 5 + 5$

Schritt 1.2.2.3.9

Addiere $- 5$ und $5$ .

$0$

Schritt 1.2.2.4

Da $5$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 5$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5}{x - 5}$

Schritt 1.2.2.5

Dividiere $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ durch $x - 5$ .

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Schritt 1.2.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$3 x^{2}$

$36 x$

$5$

Schritt 1.2.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$

Schritt 1.2.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			+	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Schritt 1.2.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x^{3} - 10 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Schritt 1.2.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Schritt 1.2.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$

Schritt 1.2.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $7 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$

Schritt 1.2.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$35 x$

Schritt 1.2.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $7 x^{2} - 35 x$

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$

Schritt 1.2.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$

Schritt 1.2.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$

Schritt 1.2.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$

Schritt 1.2.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							-	$x$	+	$5$

Schritt 1.2.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x + 5$

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							+	$x$	-	$5$

Schritt 1.2.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$	-	$36 x$	+	$5$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	-	$36 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$35 x$
							-	$x$	+	$5$
							+	$x$	-	$5$
										$0$

Schritt 1.2.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$2 x^{2} + 7 x - 1$

Schritt 1.2.2.6

Schreibe $2 x^{3} - 3 x^{2} - 36 x + 5$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 5) (2 x^{2} + 7 x - 1) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 1.2.5

Setze $2 x^{2} + 7 x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $2 x^{2} + 7 x - 1$ gleich $0$ .

$2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $2 x^{2} + 7 x - 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 1.2.5.2.2

Setze die Werte $a = 2$ , $b = 7$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 7 \pm \sqrt{7^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.3.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3.1.3

Addiere $49$ und $8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.4.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.4.1.3

Addiere $49$ und $8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 7 + \sqrt{57}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.4.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 + \sqrt{57}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{57}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - 1 (- \sqrt{57})}{4}$

Schritt 1.2.5.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (7) - 1 (- \sqrt{57})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (7 - \sqrt{57})}{4}$

Schritt 1.2.5.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 1.2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.5.2.5.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{49 + 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.5.1.3

Addiere $49$ und $8$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 7 \pm \sqrt{57}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 7 - \sqrt{57}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.5.4

Schreibe $- 7$ als $- 1 (7)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - \sqrt{57}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{57}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 7 - (\sqrt{57})}{4}$

Schritt 1.2.5.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (7) - (\sqrt{57})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (7 + \sqrt{57})}{4}$

Schritt 1.2.5.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

Schritt 1.2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (2 x^{2} + 7 x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 5, - \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, - \frac{7 + \sqrt{57}}{4}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(5, 0), (- \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, 0), (- \frac{7 + \sqrt{57}}{4}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 3 \cdot 0^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $2 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 2 \cdot 0 - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Schritt 2.2.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0 - 3 {(0)}^{2} - 36 \cdot 0 + 5$

Schritt 2.2.4.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 3 \cdot 0 - 36 \cdot 0 + 5$

Schritt 2.2.4.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 36 \cdot 0 + 5$

Schritt 2.2.4.1.5

Mutltipliziere $- 36$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 5$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 + 5$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 5$

Schritt 2.2.4.2.3

Addiere $0$ und $5$ .

$y = 5$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 5)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(5, 0), (- \frac{7 - \sqrt{57}}{4}, 0), (- \frac{7 + \sqrt{57}}{4}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 5)$

Schritt 4