Analysis Beispiele

$y = 2 x^{2} - 1$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 2 x^{2} - 1$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $2 x^{2} - 1 = 0$ um.

$2 x^{2} - 1 = 0$

Schritt 1.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} = 1$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x^{2} = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Schritt 1.2.5.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Schritt 1.2.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 1.2.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.2.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.2.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.2.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.2.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Schritt 1.2.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 1.2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 2 {(0)}^{2} - 1$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 2 \cdot 0^{2} - 1$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 2 {(0)}^{2} - 1$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $2 {(0)}^{2} - 1$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 2 \cdot 0 - 1$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$y = 0 - 1$

Schritt 2.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$y = - 1$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 1)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, 0), (- \frac{\sqrt{2}}{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 1)$

Schritt 4