Analysis Beispiele

$y = 12 x - 4 x^{2} - 9$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 12 x - 4 x^{2} - 9$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $12 x - 4 x^{2} - 9 = 0$ um.

$12 x - 4 x^{2} - 9 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$12 u - 4 u^{2} - 9 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.2.2.1

Stelle die Terme um.

$- 4 u^{2} + 12 u - 9 = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 4 \cdot - 9 = 36$ und deren Summe gleich $b = 12$ ist.

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Schritt 1.2.2.2.2.1

Faktorisiere $12$ aus $12 u$ heraus.

$- 4 u^{2} + 12 (u) - 9 = 0$

Schritt 1.2.2.2.2.2

Schreibe $12$ um als $6$ plus $6$

$- 4 u^{2} + (6 + 6) u - 9 = 0$

Schritt 1.2.2.2.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 4 u^{2} + 6 u + 6 u - 9 = 0$

Schritt 1.2.2.2.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.2.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- 4 u^{2} + 6 u) + 6 u - 9 = 0$

Schritt 1.2.2.2.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$2 u (- 2 u + 3) - 3 (- 2 u + 3) = 0$

Schritt 1.2.2.2.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 2 u + 3$ .

$(- 2 u + 3) (2 u - 3) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$(- 2 x + 3) (2 x - 3) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$- 2 x + 3 = 0$

$2 x - 3 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $- 2 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $- 2 x + 3$ gleich $0$ .

$- 2 x + 3 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $- 2 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 3$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 3$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 3$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(- 2 x + 3) (2 x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{3}{2}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 12 (0) - 4 {(0)}^{2} - 9$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 12 (0) - 4 \cdot 0^{2} - 9$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 12 (0) - 4 {(0)}^{2} - 9$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $12 (0) - 4 {(0)}^{2} - 9$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$y = 0 - 4 {(0)}^{2} - 9$

Schritt 2.2.3.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 4 \cdot 0 - 9$

Schritt 2.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 9$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 - 9$

Schritt 2.2.3.2.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$y = - 9$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 9)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{3}{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - 9)$

Schritt 4