Analysis Beispiele

$y = x^{4} - 2 x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{4} - 2 x^{2}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{4} - 2 x^{2} = 0$ um.

$x^{4} - 2 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.1

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

${(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.2

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$u^{2} - 2 u = 0$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $u^{2} - 2 u$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.2.3.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{2}$ heraus.

$u \cdot u - 2 u = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Faktorisiere $u$ aus $- 2 u$ heraus.

$u \cdot u + u \cdot - 2 = 0$

Schritt 1.2.2.3.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u + u \cdot - 2$ heraus.

$u (u - 2) = 0$

Schritt 1.2.2.4

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 1.2.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.1

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $x^{2} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 1.2.5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 1.2.5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x^{2} (x^{2} - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - 2 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{4} - 2 \cdot 0^{2}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache ${(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 2 {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.4.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 2 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4