Analysis Beispiele

$y = x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} = 0$ um.

$x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{2}{3}} = 0$

Schritt 1.2.2

Ermittle einen gemeinsamen Teiler $x^{\frac{2}{3}}$ , der in jedem Term vorkommt.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{5}{2}} - 5 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.3

Ersetze $x^{\frac{2}{3}}$ durch $u$ .

${(u)}^{\frac{5}{2}} - 5 u = 0$

Schritt 1.2.4

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{\frac{5}{2}} - 5 u$ heraus.

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Schritt 1.2.4.1.1

Faktorisiere $u$ aus $u^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$u \cdot u^{\frac{3}{2}} - 5 u = 0$

Schritt 1.2.4.1.2

Faktorisiere $u$ aus $- 5 u$ heraus.

$u \cdot u^{\frac{3}{2}} + u \cdot - 5 = 0$

Schritt 1.2.4.1.3

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot u^{\frac{3}{2}} + u \cdot - 5$ heraus.

$u (u^{\frac{3}{2}} - 5) = 0$

Schritt 1.2.4.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u = 0$

$u^{\frac{3}{2}} - 5 = 0$

Schritt 1.2.4.3

Setze $u$ gleich $0$ .

$u = 0$

Schritt 1.2.4.4

Setze $u^{\frac{3}{2}} - 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.4.4.1

Setze $u^{\frac{3}{2}} - 5$ gleich $0$ .

$u^{\frac{3}{2}} - 5 = 0$

Schritt 1.2.4.4.2

Löse $u^{\frac{3}{2}} - 5 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 1.2.4.4.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u^{\frac{3}{2}} = 5$

Schritt 1.2.4.4.2.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.4.4.2.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.4.2.3.1

Vereinfache ${(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 1.2.4.4.2.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 1.2.4.4.2.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.4.4.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.4.2.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = 5^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.4.4.2.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.4.4.2.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.4.4.2.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$u^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 5^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.4.4.2.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$u^{1} = 5^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.4.4.2.3.1.2

Vereinfache.

$u = 5^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.4.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $u (u^{\frac{3}{2}} - 5) = 0$ wahr machen.

$u = 0, 5^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.5

Ersetze $u$ durch $x$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 0, 5^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1.2.6

Löse nach $x^{\frac{2}{3}} = 0$ auf für $x$ .

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Schritt 1.2.6.1

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.6.2

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 1.2.6.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.6.2.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.6.2.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.6.2.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.6.2.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.6.2.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.6.2.1.1.2

Vereinfache.

$x = \pm 0^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.6.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.6.2.2.1

Vereinfache $\pm 0^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 1.2.6.2.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.2.6.2.2.1.1.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.6.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm 0^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm 0^{3}$

Schritt 1.2.6.2.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x = \pm 0$

Schritt 1.2.6.2.2.1.4

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.7

Da die Exponenten gleich sind, müssen die Basen der Exponenten auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$x = 5$

Schritt 1.2.8

Liste alle Lösungen auf.

$x = 0, 5$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (5, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = {(0)}^{\frac{5}{3}} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0^{\frac{5}{3}} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 0^{\frac{5}{3}} - 5 \cdot 0^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = {(0)}^{\frac{5}{3}} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache ${(0)}^{\frac{5}{3}} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$y = {(0^{3})}^{\frac{5}{3}} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.2.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0^{3 (\frac{5}{3})} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.2.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.4.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 0^{3 (\frac{5}{3})} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.2.4.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 0^{5} - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.2.4.1.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.2.4.1.5

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$y = 0 - 5 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.2.4.1.6

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0 - 5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 2.2.4.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.4.1.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = 0 - 5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 2.2.4.1.7.2

Forme den Ausdruck um.

$y = 0 - 5 \cdot 0^{2}$

Schritt 2.2.4.1.8

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 5 \cdot 0$

Schritt 2.2.4.1.9

Mutltipliziere $- 5$ mit $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.4.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (5, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4