Analysis Beispiele

$C (20) = 9 + \sqrt{2 x + 24}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 x + 24}$ als ${(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$C (20) = 9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (C (20)) = \frac{d}{d x} (9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Bringe $20$ auf die linke Seite von $C$ .

$\frac{d}{d x} [20 C]$

Schritt 3.2

Da $20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $20 C$ nach $x$ gleich $20 \frac{d}{d x} [C]$ .

$20 \frac{d}{d x} [C]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [C]$ als $C'$ um.

$20 C'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 + {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Berechne $\frac{d}{d x} [{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 4.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 2 x + 24$ .

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Schritt 4.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x + 24$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

Schritt 4.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

Schritt 4.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x + 24$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 24]$

Schritt 4.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 24$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [24])$

Schritt 4.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [24])$

Schritt 4.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [24])$

Schritt 4.2.5

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0)$

Schritt 4.2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Schritt 4.2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Schritt 4.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Schritt 4.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Schritt 4.2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Schritt 4.2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0)$

Schritt 4.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0)$

Schritt 4.2.12

Addiere $2$ und $0$ .

$0 + \frac{1}{2} {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2$

Schritt 4.2.13

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2$

Schritt 4.2.14

Kombiniere $\frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $2$ .

$0 + \frac{{(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2}$

Schritt 4.2.15

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{2 \cdot {(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.2.16

Bringe ${(2 x + 24)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2}{2 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2.17

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{2}{2 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2.18

Forme den Ausdruck um.

$0 + \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3

Addiere $0$ und $\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ durch $20$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $20 C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$ durch $20$ .

$\frac{20 C'}{20} = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $20$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20 C'}{20} = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $C'$ durch $1$ .

$C' = \frac{\frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}}{20}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{20}$

Schritt 6.3.2

Kombinieren.

$C' = \frac{1 \cdot 1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.3.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$C' = \frac{1}{{(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}} \cdot 20}$

Schritt 6.3.3.2

Bringe $20$ auf die linke Seite von ${(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}$ .

$C' = \frac{1}{20 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 7

Ersetze $C'$ durch $\frac{d C}{d x}$ .

$\frac{d C}{d x} = \frac{1}{20 {(2 x + 24)}^{\frac{1}{2}}}$