Analysis Beispiele

$g (a - 3) = \frac{1}{(a + 3) - 3}$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$g (a - 3) = \frac{1}{a + 3 - 3}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d a} (g (a - 3)) = \frac{d}{d a} (\frac{1}{a + 3 - 3})$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [f (a) g (a)]$ gleich $f (a) \frac{d}{d a} [g (a)] + g (a) \frac{d}{d a} [f (a)]$ ist mit $f (a) = g$ und $g (a) = a - 3$ .

$g \frac{d}{d a} [a - 3] + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a - 3$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 3]$ .

$g (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [- 3]) + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$g (1 + \frac{d}{d a} [- 3]) + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Schritt 3.2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$g (1 + 0) + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Schritt 3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$g \cdot 1 + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $g$ mit $1$ .

$g + (a - 3) \frac{d}{d a} [g]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d a} [g]$ als $g'$ um.

$g + (a - 3) g'$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$g + a g' - 3 g'$

Schritt 3.4.2

Stelle die Terme um.

$a g' + g - 3 g'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{a + 0}]$

Schritt 4.1.2

Addiere $a$ und $0$ .

$\frac{d}{d a} [\frac{1}{a}]$

Schritt 4.1.3

Schreibe $\frac{1}{a}$ als $a^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d a} [a^{- 1}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- a^{- 2}$

Schritt 4.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{a^{2}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$a g' + g - 3 g' = - \frac{1}{a^{2}}$

Schritt 6

Löse nach $g'$ auf.

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Schritt 6.1

Subtrahiere $g$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a g' - 3 g' = - \frac{1}{a^{2}} - g$

Schritt 6.2

Faktorisiere $g'$ aus $a g' - 3 g'$ heraus.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $g'$ aus $a g'$ heraus.

$g' a - 3 g' = - \frac{1}{a^{2}} - g$

Schritt 6.2.2

Faktorisiere $g'$ aus $- 3 g'$ heraus.

$g' a + g' \cdot - 3 = - \frac{1}{a^{2}} - g$

Schritt 6.2.3

Faktorisiere $g'$ aus $g' a + g' \cdot - 3$ heraus.

$g' (a - 3) = - \frac{1}{a^{2}} - g$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $g' (a - 3) = - \frac{1}{a^{2}} - g$ durch $a - 3$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $g' (a - 3) = - \frac{1}{a^{2}} - g$ durch $a - 3$ .

$\frac{g' (a - 3)}{a - 3} = \frac{- \frac{1}{a^{2}}}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 3$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{g' (a - 3)}{a - 3} = \frac{- \frac{1}{a^{2}}}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $g'$ durch $1$ .

$g' = \frac{- \frac{1}{a^{2}}}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$g' = - \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{1}{a - 3} + \frac{- g}{a - 3}$

Schritt 6.3.3.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{a - 3}$ mit $\frac{1}{a^{2}}$ .

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} + \frac{- g}{a - 3}$

Schritt 6.3.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} - \frac{g}{a - 3}$

Schritt 6.3.3.2

Um $- \frac{g}{a - 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a^{2}}{a^{2}}$ .

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} - \frac{g}{a - 3} \cdot \frac{a^{2}}{a^{2}}$

Schritt 6.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{g}{a - 3}$ mit $\frac{a^{2}}{a^{2}}$ .

$g' = - \frac{1}{(a - 3) a^{2}} - \frac{g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

Schritt 6.3.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$g' = \frac{- 1 - g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

Schritt 6.3.3.5

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$g' = \frac{- 1 (1) - g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

Schritt 6.3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- g a^{2}$ heraus.

$g' = \frac{- 1 (1) - (g a^{2})}{(a - 3) a^{2}}$

Schritt 6.3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (g a^{2})$ heraus.

$g' = \frac{- 1 (1 + g a^{2})}{(a - 3) a^{2}}$

Schritt 6.3.3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.3.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g' = - \frac{1 + g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$

Schritt 6.3.3.8.2

Stelle die Faktoren in $- \frac{1 + g a^{2}}{(a - 3) a^{2}}$ um.

$g' = - \frac{1 + g a^{2}}{a^{2} (a - 3)}$

Schritt 7

Ersetze $g'$ durch $\frac{d g}{d a}$ .

$\frac{d g}{d a} = - \frac{1 + g a^{2}}{a^{2} (a - 3)}$