Analysis Beispiele

$\sin (h (x)) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

Schritt 1

Multipliziere $h$ mit $x$ .

$\sin (h x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (\sin (h x)) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})$

Schritt 3

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = h x$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $h x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [h x]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [h x]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $h x$ .

$\cos (h x) \frac{d}{d x} [h x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = h$ und $g (x) = x$ .

$\cos (h x) (h \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [h])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (h x) (h \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [h])$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$\cos (h x) (h + x \frac{d}{d x} [h])$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [h]$ als $h'$ um.

$\cos (h x) (h + x h')$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (h x) h + \cos (h x) (x h')$

Schritt 3.5.2

Stelle die Terme um.

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere.

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Schritt 4.1.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - e^{- x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Schritt 4.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- e^{- x}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - x$ .

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Schritt 4.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 4.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 4.4.3

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

Schritt 4.5

Differenziere.

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Schritt 4.5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 4.5.2

Multipliziere.

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Schritt 4.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.5.2.2

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x} \cdot 1)$

Schritt 4.5.4

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$

Schritt 4.6

Vereinfache.

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Schritt 4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Schritt 4.6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Schritt 4.6.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{- x}$ .

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$h \cos (h x) + x \cos (h x) h' = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Schritt 6

Löse nach $h'$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1

Stelle die Faktoren in $h \cos (h x) + x \cos (h x) h'$ um.

$h \cos (h x) + x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $h \cos (h x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ durch $x \cos (h x)$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x h' \cos (h x) = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - h \cos (h x)$ durch $x \cos (h x)$ .

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x h' \cos (h x)}{x \cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Schritt 6.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (h x)$ .

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h' \cos (h x)}{\cos (h x)} = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Schritt 6.3.2.2.2

Dividiere $h'$ durch $1$ .

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.3.1.1

Separiere Brüche.

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Schritt 6.3.3.1.2

Wandle von $\frac{1}{\cos (h x)}$ nach $\sec (h x)$ um.

$h' = \frac{\frac{e^{x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Schritt 6.3.3.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$h' = \frac{e^{x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Schritt 6.3.3.1.4

Kombinieren.

$h' = \frac{e^{x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Schritt 6.3.3.1.5

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$h' = \frac{e^{x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Schritt 6.3.3.1.6

Kombiniere $\frac{e^{x}}{2 x}$ und $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x \cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Schritt 6.3.3.1.7

Separiere Brüche.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \cdot \frac{1}{\cos (h x)} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Schritt 6.3.3.1.8

Wandle von $\frac{1}{\cos (h x)}$ nach $\sec (h x)$ um.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{\frac{e^{- x}}{2}}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Schritt 6.3.3.1.9

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{1}{x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Schritt 6.3.3.1.10

Kombinieren.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \cdot 1}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Schritt 6.3.3.1.11

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x}}{2 x} \sec (h x) + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Schritt 6.3.3.1.12

Kombiniere $\frac{e^{- x}}{2 x}$ und $\sec (h x)$ .

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Schritt 6.3.3.1.13

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (h x)$ .

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Schritt 6.3.3.1.13.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h \cos (h x)}{x \cos (h x)}$

Schritt 6.3.3.1.13.2

Forme den Ausdruck um.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{- h}{x}$

Schritt 6.3.3.1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$h' = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$

Schritt 7

Ersetze $h'$ durch $\frac{d h}{d x}$ .

$\frac{d h}{d x} = \frac{e^{x} \sec (h x)}{2 x} + \frac{e^{- x} \sec (h x)}{2 x} - \frac{h}{x}$