Analysis Beispiele

$f = 12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (f) = \frac{d}{d x} (12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $f$ nach $x$ ist $f'$ .

$f'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x + 4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $12$ mit $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 y \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $4 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y e^{\frac{2 x}{7 y}}$ nach $x$ gleich $4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$ .

$12 + 4 y \frac{d}{d x} [e^{\frac{2 x}{7 y}}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \frac{2 x}{7 y}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{2 x}{7 y}$ .

$12 + 4 y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$12 + 4 y (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{2 x}{7 y}$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x}{7 y}])$

Schritt 3.3.3

Da $\frac{2}{7 y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{7 y}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} (\frac{2}{7 y} \cdot 1))$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $\frac{2}{7 y}$ mit $1$ .

$12 + 4 y (e^{\frac{2 x}{7 y}} \frac{2}{7 y})$

Schritt 3.3.6

Kombiniere $e^{\frac{2 x}{7 y}}$ und $\frac{2}{7 y}$ .

$12 + 4 y \frac{e^{\frac{2 x}{7 y}} \cdot 2}{7 y}$

Schritt 3.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{\frac{2 x}{7 y}}$ .

$12 + 4 y \frac{2 \cdot e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

Schritt 3.3.8

Kombiniere $4$ und $\frac{2 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ .

$12 + y \frac{4 (2 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Schritt 3.3.9

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$12 + y \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$

Schritt 3.3.10

Kombiniere $y$ und $\frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7 y}$ .

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Schritt 3.3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.3.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 + \frac{y (8 e^{\frac{2 x}{7 y}})}{7 y}$

Schritt 3.3.11.2

Forme den Ausdruck um.

$12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$f' = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$

Schritt 5

Ersetze $f'$ durch $\frac{d f}{d x}$ .

$\frac{d f}{d x} = 12 + \frac{8 e^{\frac{2 x}{7 y}}}{7}$