Analysis Beispiele

$\frac{4 f^{2} P}{1 - f^{2}} = K$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d P} (\frac{4 f^{2} P}{1 - f^{2}}) = \frac{d}{d P} (K)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d}{d P} [\frac{4 f^{2} P}{1^{2} - f^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = f$ .

$\frac{d}{d P} [\frac{4 f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $P$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4 f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}$ nach $P$ gleich $4 \frac{d}{d P} [\frac{f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$ .

$4 \frac{d}{d P} [\frac{f^{2} P}{(1 + f) (1 - f)}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d P} [\frac{f (P)}{g (P)}]$ gleich $\frac{g (P) \frac{d}{d P} [f (P)] - f (P) \frac{d}{d P} [g (P)]}{{g (P)}^{2}}$ ist mit $f (P) = f^{2} P$ und $g (P) = (1 + f) (1 - f)$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) \frac{d}{d P} [f^{2} P] - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d P} [f (P) g (P)]$ gleich $f (P) \frac{d}{d P} [g (P)] + g (P) \frac{d}{d P} [f (P)]$ ist mit $f (P) = f^{2}$ und $g (P) = P$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} \frac{d}{d P} [P] + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d P} [P^{n}]$ gleich $n P^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} \cdot 1 + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $f^{2}$ mit $1$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P \frac{d}{d P} [f^{2}]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d P} [f (g (P))]$ ist $f' (g (P)) g' (P)$ , mit $f (P) = P^{2}$ und $g (P) = f$ .

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Schritt 2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $f$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (2 u \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $f$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + P (2 f \frac{d}{d P} [f])) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $P$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 \cdot P f \frac{d}{d P} [f]) - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.8

Schreibe $\frac{d}{d P} [f]$ als $f'$ um.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P \frac{d}{d P} [(1 + f) (1 - f)]}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d P} [f (P) g (P)]$ gleich $f (P) \frac{d}{d P} [g (P)] + g (P) \frac{d}{d P} [f (P)]$ ist mit $f (P) = 1 + f$ und $g (P) = 1 - f$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) \frac{d}{d P} [1 - f] + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.10

Differenziere.

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Schritt 2.10.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - f$ nach $P$ $\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [- f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [- f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.10.2

Da $1$ konstant bezüglich $P$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $P$ gleich $0$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (0 + \frac{d}{d P} [- f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.10.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d P} [- f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) \frac{d}{d P} [- f] + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.10.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $P$ ist, ist die Ableitung von $- f$ nach $P$ gleich $- \frac{d}{d P} [f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- \frac{d}{d P} [f]) + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.11

Schreibe $\frac{d}{d P} [f]$ als $f'$ um.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) \frac{d}{d P} [1 + f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + f$ nach $P$ $\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) (\frac{d}{d P} [1] + \frac{d}{d P} [f]))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.13

Da $1$ konstant bezüglich $P$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $P$ gleich $0$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) (0 + \frac{d}{d P} [f]))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.14

Addiere $0$ und $\frac{d}{d P} [f]$ .

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) \frac{d}{d P} [f])}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.15

Schreibe $\frac{d}{d P} [f]$ als $f'$ um.

$4 \frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f')}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.16

Kombiniere $4$ und $\frac{(1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f')}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$ .

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f'))}{{((1 + f) (1 - f))}^{2}}$

Schritt 2.17

Vereinfache.

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Schritt 2.17.1

Wende die Produktregel auf $(1 + f) (1 - f)$ an.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P ((1 + f) (- f') + (1 - f) f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f') + f (- f') + (1 - f) f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f') + f (- f') + 1 f' - f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} P (1 (- f')) - f^{2} P (f (- f')) - f^{2} P (1 f') - f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 ((1 + f) (1 - f) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.17.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.17.6.1.1

Multipliziere $(1 + f) (1 - f)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.17.6.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 ((1 (1 - f) + f (1 - f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 ((1 \cdot 1 + 1 (- f) + f (1 - f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 ((1 \cdot 1 + 1 (- f) + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.17.6.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.17.6.1.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{4 ((1 + 1 (- f) + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.2.1.2

Mutltipliziere $- f$ mit $1$ .

$\frac{4 ((1 - f + f \cdot 1 + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.2.1.3

Mutltipliziere $f$ mit $1$ .

$\frac{4 ((1 - f + f + f (- f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 ((1 - f + f - f \cdot f) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.2.1.5

Multipliziere $f$ mit $f$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.17.6.1.2.1.5.1

Bewege $f$ .

$\frac{4 ((1 - f + f - (f \cdot f)) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.2.1.5.2

Mutltipliziere $f$ mit $f$ .

$\frac{4 ((1 - f + f - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.2.2

Addiere $- f$ und $f$ .

$\frac{4 ((1 + 0 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{4 ((1 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.3

Multipliziere $(1 - f^{2}) (f^{2} + 2 P f f')$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.17.6.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (1 (f^{2} + 2 P f f') - f^{2} (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (1 f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} (f^{2} + 2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (1 f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.17.6.1.4.1

Mutltipliziere $f^{2}$ mit $1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 1 (2 P f f') - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.4.2

Mutltipliziere $2 P f f'$ mit $1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{2} f^{2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.4.3

Multipliziere $f^{2}$ mit $f^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.17.6.1.4.3.1

Bewege $f^{2}$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - (f^{2} f^{2}) - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{2 + 2} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.4.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{2} (2 P f f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.4.4

Multipliziere $f^{2}$ mit $f$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.17.6.1.4.4.1

Bewege $f$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - (f \cdot f^{2}) (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.4.4.2

Mutltipliziere $f$ mit $f^{2}$ .

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Schritt 2.17.6.1.4.4.2.1

Potenziere $f$ mit $1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - (f^{1} f^{2}) (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.4.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{1 + 2} (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.4.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - f^{3} (2 P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 (f^{2} + 2 P f f' - f^{4} - 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 f^{2} + 4 (2 P f f') + 4 (- f^{4}) + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.6

Vereinfache.

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Schritt 2.17.6.1.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') + 4 (- f^{4}) + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') - 4 f^{4} + 4 (- 2 f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.6.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 (P f f') - 4 f^{4} - 8 (f^{3} (P f')) + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.7

Entferne die Klammern.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (- f^{2} P (1 (- f'))) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.8

Mutltipliziere $- f'$ mit $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (- f^{2} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.9

Multipliziere $- f^{2} P (- f')$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.17.6.1.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (1 f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.9.2

Mutltipliziere $f^{2}$ mit $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 (f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (f (- f'))) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.10

Multipliziere $f^{2}$ mit $f$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.17.6.1.10.1

Bewege $f$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- (f \cdot f^{2}) P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.10.2

Mutltipliziere $f$ mit $f^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.17.6.1.10.2.1

Potenziere $f$ mit $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- (f^{1} f^{2}) P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.10.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{1 + 2} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.10.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- f')) + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.11

Multipliziere $- f^{3} P (- f')$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.17.6.1.11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (1 f^{3} P f') + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.11.2

Mutltipliziere $f^{3}$ mit $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 (f^{3} P f') + 4 (- f^{2} P (1 f')) + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.12

Mutltipliziere $f'$ mit $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' + 4 (- f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 (f^{2} P f') + 4 (- f^{2} P (- f f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.14

Multipliziere $f^{2}$ mit $f$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.17.6.1.14.1

Bewege $f$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- (f \cdot f^{2}) P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.14.2

Mutltipliziere $f$ mit $f^{2}$ .

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Schritt 2.17.6.1.14.2.1

Potenziere $f$ mit $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- (f^{1} f^{2}) P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.14.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{1 + 2} P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.14.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- 1 f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.15

Schreibe $- 1 f'$ als $- f'$ um.

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (- f^{3} P (- f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.16

Multipliziere $- f^{3} P (- f')$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.17.6.1.16.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (1 f^{3} P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.1.16.2

Mutltipliziere $f^{3}$ mit $1$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 (f^{3} P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f' - 4 f^{2} P f' + 4 f^{3} P f'$ .

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Schritt 2.17.6.2.1

Subtrahiere $4 f^{2} P f'$ von $4 f^{2} P f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f' + 0 + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.2.2

Addiere $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f'$ und $0$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 8 f^{3} (P f') + 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.3

Addiere $- 8 f^{3} P f'$ und $4 f^{3} P f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} - 4 f^{3} P f' + 4 f^{3} P f'$ .

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Schritt 2.17.6.4.1

Addiere $- 4 f^{3} P f'$ und $4 f^{3} P f'$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4} + 0}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.6.4.2

Addiere $4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4}$ und $0$ .

$\frac{4 f^{2} + 8 P f f' - 4 f^{4}}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.7

Stelle die Terme um.

$\frac{- 4 f^{4} + 4 f^{2} + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.8

Faktorisiere $4 f$ aus $- 4 f^{4} + 4 f^{2} + 8 P f f'$ heraus.

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Schritt 2.17.8.1

Faktorisiere $4 f$ aus $- 4 f^{4}$ heraus.

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f^{2} + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.8.2

Faktorisiere $4 f$ aus $4 f^{2}$ heraus.

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f (f) + 8 P f f'}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.8.3

Faktorisiere $4 f$ aus $8 P f f'$ heraus.

$\frac{4 f (- f^{3}) + 4 f (f) + 4 f (2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.8.4

Faktorisiere $4 f$ aus $4 f (- f^{3}) + 4 f (f)$ heraus.

$\frac{4 f (- f^{3} + f) + 4 f (2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.8.5

Faktorisiere $4 f$ aus $4 f (- f^{3} + f) + 4 f (2 P f')$ heraus.

$\frac{4 f (- f^{3} + f + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- f^{3}$ heraus.

$\frac{4 f (- (f^{3}) + f + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.10

Faktorisiere $- 1$ aus $f$ heraus.

$\frac{4 f (- (f^{3}) - 1 (- f) + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (f^{3}) - 1 (- f)$ heraus.

$\frac{4 f (- (f^{3} - f) + 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.12

Faktorisiere $- 1$ aus $2 P f'$ heraus.

$\frac{4 f (- (f^{3} - f) - (- 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.13

Faktorisiere $- 1$ aus $- (f^{3} - f) - (- 2 P f')$ heraus.

$\frac{4 f (- (f^{3} - f - 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.14

Schreibe $- (f^{3} - f - 2 P f')$ als $- 1 (f^{3} - f - 2 P f')$ um.

$\frac{4 f (- 1 (f^{3} - f - 2 P f'))}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(4 f) (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 2.17.16

Stelle die Faktoren in $- \frac{(4 f) (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$ um.

$- \frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}}$

Schritt 3

Da $K$ konstant bezüglich $P$ ist, ist die Ableitung von $K$ bezüglich $P$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- \frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{{(1 + f)}^{2} {(1 - f)}^{2}} = 0$

Schritt 5

Löse nach $f'$ auf.

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Schritt 5.1

Setze den Zähler gleich Null.

$4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$

Schritt 5.2

Löse die Gleichung nach $f'$ auf.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$ durch $4 f$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 f (f^{3} - f - 2 P f') = 0$ durch $4 f$ .

$\frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{4 f} = \frac{0}{4 f}$

Schritt 5.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 f (f^{3} - f - 2 P f')}{4 f} = \frac{0}{4 f}$

Schritt 5.2.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{f (f^{3} - f - 2 P f')}{f} = \frac{0}{4 f}$

Schritt 5.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $f$ .

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Schritt 5.2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{f (f^{3} - f - 2 P f')}{f} = \frac{0}{4 f}$

Schritt 5.2.1.2.2.2

Dividiere $f^{3} - f - 2 P f'$ durch $1$ .

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{0}{4 f}$

Schritt 5.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 5.2.1.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 (0)}{4 f}$

Schritt 5.2.1.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.1.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 f$ heraus.

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 (0)}{4 (f)}$

Schritt 5.2.1.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{4 \cdot 0}{4 f}$

Schritt 5.2.1.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{3} - f - 2 P f' = \frac{0}{f}$

Schritt 5.2.1.3.2

Dividiere $0$ durch $f$ .

$f^{3} - f - 2 P f' = 0$

Schritt 5.2.2

Bringe alle Terme, die nicht $f'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.2.1

Subtrahiere $f^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- f - 2 P f' = - f^{3}$

Schritt 5.2.2.2

Addiere $f$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 P f' = - f^{3} + f$

Schritt 5.2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 P f' = - f^{3} + f$ durch $- 2 P$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 P f' = - f^{3} + f$ durch $- 2 P$ .

$\frac{- 2 P f'}{- 2 P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 P f'}{- 2 P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Schritt 5.2.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{P f'}{P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $P$ .

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Schritt 5.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{P f'}{P} = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Schritt 5.2.3.2.2.2

Dividiere $f'$ durch $1$ .

$f' = \frac{- f^{3}}{- 2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$f' = \frac{f^{3}}{2 P} + \frac{f}{- 2 P}$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' = \frac{f^{3}}{2 P} - \frac{f}{2 P}$

Schritt 6

Ersetze $f'$ durch $\frac{d f}{d P}$ .

$\frac{d f}{d P} = \frac{f^{3}}{2 P} - \frac{f}{2 P}$