Analysis Beispiele

$x = \sqrt[3]{15000 - p^{3}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{15000 - p^{3}}$ als ${(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x = {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} ({(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = 15000 - p^{3}$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $15000 - p^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} {u_{1}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $15000 - p^{3}$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Schritt 4.6

Differenziere.

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Schritt 4.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} {(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Schritt 4.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Schritt 4.6.2.2

Bringe ${(15000 - p^{3})}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [15000 - p^{3}]$

Schritt 4.6.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $15000 - p^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [15000] + \frac{d}{d x} [- p^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [15000] + \frac{d}{d x} [- p^{3}])$

Schritt 4.6.4

Da $15000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $15000$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- p^{3}])$

Schritt 4.6.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- p^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- p^{3}]$

Schritt 4.6.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- p^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [p^{3}]$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{d}{d x} [p^{3}])$

Schritt 4.7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = p$ .

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Schritt 4.7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $p$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [p]))$

Schritt 4.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [p]))$

Schritt 4.7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $p$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- (3 p^{2} \frac{d}{d x} [p]))$

Schritt 4.8

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- 3 (p^{2} \frac{d}{d x} [p]))$

Schritt 4.8.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 3}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} (p^{2} \frac{d}{d x} [p])$

Schritt 4.8.3

Kombiniere $p^{2}$ und $\frac{- 3}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{p^{2} \cdot - 3}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Schritt 4.8.4

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $p^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot p^{2}}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Schritt 4.8.5

Faktorisiere $3$ aus $- 3 p^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- p^{2})}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Schritt 4.9

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.9.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (- p^{2})}{3 ({(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}})} \frac{d}{d x} [p]$

Schritt 4.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- p^{2})}{3 {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Schritt 4.9.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Schritt 4.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [p]$

Schritt 4.11

Schreibe $\frac{d}{d x} [p]$ als $p'$ um.

$- \frac{p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} p'$

Schritt 4.12

Kombiniere $p'$ und $\frac{p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{p' p^{2}}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.13

Stelle die Faktoren in $p' p^{2}$ um.

$- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6

Löse nach $p'$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$ um.

$- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- \frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}$ durch $1$ .

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{- 1}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} = - 1$

Schritt 6.3

Multipliziere beide Seiten mit ${(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}} = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 6.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 6.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{p^{2} p'}{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}} {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}} = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 6.4.1.2

Forme den Ausdruck um.

$p^{2} p' = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 6.5

Teile jeden Ausdruck in $p^{2} p' = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ durch $p^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Teile jeden Ausdruck in $p^{2} p' = - {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}$ durch $p^{2}$ .

$\frac{p^{2} p'}{p^{2}} = \frac{- {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

Schritt 6.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p^{2}$ .

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Schritt 6.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{p^{2} p'}{p^{2}} = \frac{- {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

Schritt 6.5.2.1.2

Dividiere $p'$ durch $1$ .

$p' = \frac{- {(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

Schritt 6.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$p' = - \frac{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$

Schritt 7

Ersetze $p'$ durch $\frac{d p}{d x}$ .

$\frac{d p}{d x} = - \frac{{(15000 - p^{3})}^{\frac{2}{3}}}{p^{2}}$