Analysis Beispiele

$x p^{2} = 5$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x p^{2}) = \frac{d}{d x} (5)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = p^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [p^{2}] + p^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = p$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $p$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [p]) + p^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [p]) + p^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $p$ .

$x (2 p \frac{d}{d x} [p]) + p^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 \cdot x p \frac{d}{d x} [p] + p^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [p]$ als $p'$ um.

$2 x p p' + p^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x p p' + p^{2} \cdot 1$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $p^{2}$ mit $1$ .

$2 x p p' + p^{2}$

Schritt 2.6.2

Stelle die Terme um.

$p^{2} + 2 p x p'$

Schritt 3

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$p^{2} + 2 p x p' = 0$

Schritt 5

Löse nach $p'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $p^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 p x p' = - p^{2}$

Schritt 5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 p x p' = - p^{2}$ durch $2 p x$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 p x p' = - p^{2}$ durch $2 p x$ .

$\frac{2 p x p'}{2 p x} = \frac{- p^{2}}{2 p x}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 p x p'}{2 p x} = \frac{- p^{2}}{2 p x}$

Schritt 5.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{p x p'}{p x} = \frac{- p^{2}}{2 p x}$

Schritt 5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $p$ .

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{p x p'}{p x} = \frac{- p^{2}}{2 p x}$

Schritt 5.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x p'}{x} = \frac{- p^{2}}{2 p x}$

Schritt 5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x p'}{x} = \frac{- p^{2}}{2 p x}$

Schritt 5.2.2.3.2

Dividiere $p'$ durch $1$ .

$p' = \frac{- p^{2}}{2 p x}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $p^{2}$ und $p$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $p$ aus $- p^{2}$ heraus.

$p' = \frac{p (- p)}{2 p x}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $p$ aus $2 p x$ heraus.

$p' = \frac{p (- p)}{p (2 x)}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$p' = \frac{p (- p)}{p (2 x)}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$p' = \frac{- p}{2 x}$

Schritt 5.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$p' = - \frac{p}{2 x}$

Schritt 6

Ersetze $p'$ durch $\frac{d p}{d x}$ .

$\frac{d p}{d x} = - \frac{p}{2 x}$