Analysis Beispiele

$p = \frac{500}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d t} (p) = \frac{d}{d t} (\frac{500}{12 + 5 e^{- 0.5 t}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $p$ nach $t$ ist $p'$ .

$p'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Da $500$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{500}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}$ nach $t$ gleich $500 \frac{d}{d t} [\frac{1}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}]$ .

$500 \frac{d}{d t} [\frac{1}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}]$

Schritt 3.1.2

Schreibe $\frac{1}{12 + 5 e^{- 0.5 t}}$ als ${(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 1}$ um.

$500 \frac{d}{d t} [{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 1}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = 12 + 5 e^{- 0.5 t}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $12 + 5 e^{- 0.5 t}$ .

$500 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$500 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $12 + 5 e^{- 0.5 t}$ .

$500 (- {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $500$ .

$- 500 ({(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [12 + 5 e^{- 0.5 t}])$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 + 5 e^{- 0.5 t}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [12] + \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}]$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [12] + \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}])$

Schritt 3.3.3

Da $12$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}])$

Schritt 3.3.4

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}]$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [5 e^{- 0.5 t}]$

Schritt 3.3.5

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 e^{- 0.5 t}$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [e^{- 0.5 t}]$ .

$- 500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (5 \frac{d}{d t} [e^{- 0.5 t}])$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 500$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.5 t}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - 0.5 t$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 0.5 t$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.5 t])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.5 t])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 0.5 t$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} \frac{d}{d t} [- 0.5 t])$

Schritt 3.5

Differenziere.

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Schritt 3.5.1

Da $- 0.5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 0.5 t$ nach $t$ gleich $- 0.5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 2500 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} (- 0.5 \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $- 0.5$ mit $- 2500$ .

$1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 3.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} (e^{- 0.5 t} \cdot 1)$

Schritt 3.5.4

Mutltipliziere $e^{- 0.5 t}$ mit $1$ .

$1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} e^{- 0.5 t}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Stelle die Faktoren von $1250 {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2} e^{- 0.5 t}$ um.

$1250 e^{- 0.5 t} {(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{- 2}$

Schritt 3.6.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1250 e^{- 0.5 t} \frac{1}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$

Schritt 3.6.3

Multipliziere $1250 e^{- 0.5 t} \frac{1}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$ .

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Schritt 3.6.3.1

Kombiniere $\frac{1}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$ und $1250$ .

$\frac{1250}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}} e^{- 0.5 t}$

Schritt 3.6.3.2

Kombiniere $\frac{1250}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$ und $e^{- 0.5 t}$ .

$\frac{1250 e^{- 0.5 t}}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$p' = \frac{1250 e^{- 0.5 t}}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $p'$ durch $\frac{d p}{d t}$ .

$\frac{d p}{d t} = \frac{1250 e^{- 0.5 t}}{{(12 + 5 e^{- 0.5 t})}^{2}}$