Analysis Beispiele

$p = 4 q e^{q^{9}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (4 q e^{q^{9}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $p$ nach $q$ ist $p'$ .

$p'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $q$ ist, ist die Ableitung von $4 q e^{q^{9}}$ nach $q$ gleich $4 \frac{d}{d q} [q e^{q^{9}}]$ .

$4 \frac{d}{d q} [q e^{q^{9}}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ gleich $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ ist mit $f (q) = q$ und $g (q) = e^{q^{9}}$ .

$4 (q \frac{d}{d q} [e^{q^{9}}] + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ ist $f' (g (q)) g' (q)$ , mit $f (q) = e^{q}$ und $g (q) = q^{9}$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $q^{9}$ .

$4 (q (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$4 (q (e^{u} \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $q^{9}$ .

$4 (q (e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q^{9}]) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ gleich $n q^{n - 1}$ ist mit $n = 9$ .

$4 (q (e^{q^{9}} (9 q^{8})) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Schritt 3.5

Potenziere $q$ mit $1$ .

$4 (q^{8} q^{1} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Schritt 3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 (q^{8 + 1} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $8$ und $1$ .

$4 (q^{9} (e^{q^{9}} \cdot (9)) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Schritt 3.7.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $e^{q^{9}}$ .

$4 (q^{9} (9 \cdot e^{q^{9}}) + e^{q^{9}} \frac{d}{d q} [q])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ gleich $n q^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}}) + e^{q^{9}} \cdot 1)$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $e^{q^{9}}$ mit $1$ .

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}}) + e^{q^{9}})$

Schritt 3.10

Vereinfache.

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Schritt 3.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (q^{9} (9 e^{q^{9}})) + 4 e^{q^{9}}$

Schritt 3.10.2

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

Schritt 3.10.3

Stelle die Terme um.

$36 e^{q^{9}} q^{9} + 4 e^{q^{9}}$

Schritt 3.10.4

Stelle die Faktoren in $36 e^{q^{9}} q^{9} + 4 e^{q^{9}}$ um.

$36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$p' = 36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$

Schritt 5

Ersetze $p'$ durch $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = 36 q^{9} e^{q^{9}} + 4 e^{q^{9}}$