Analysis Beispiele

$p = \frac{10000}{q^{2} + 25}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{10000}{q^{2} + 25})$

Schritt 2

Die Ableitung von $p$ nach $q$ ist $p'$ .

$p'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 3.1.1

Da $10000$ konstant bezüglich $q$ ist, ist die Ableitung von $\frac{10000}{q^{2} + 25}$ nach $q$ gleich $10000 \frac{d}{d q} [\frac{1}{q^{2} + 25}]$ .

$10000 \frac{d}{d q} [\frac{1}{q^{2} + 25}]$

Schritt 3.1.2

Schreibe $\frac{1}{q^{2} + 25}$ als ${(q^{2} + 25)}^{- 1}$ um.

$10000 \frac{d}{d q} [{(q^{2} + 25)}^{- 1}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [f (g (q))]$ ist $f' (g (q)) g' (q)$ , mit $f (q) = q^{- 1}$ und $g (q) = q^{2} + 25$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $q^{2} + 25$ .

$10000 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d q} [q^{2} + 25])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$10000 (- u^{- 2} \frac{d}{d q} [q^{2} + 25])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $q^{2} + 25$ .

$10000 (- {(q^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d q} [q^{2} + 25])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10000$ .

$- 10000 ({(q^{2} + 25)}^{- 2} \frac{d}{d q} [q^{2} + 25])$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $q^{2} + 25$ nach $q$ $\frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [25]$ .

$- 10000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} (\frac{d}{d q} [q^{2}] + \frac{d}{d q} [25])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ gleich $n q^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 10000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} (2 q + \frac{d}{d q} [25])$

Schritt 3.3.4

Da $25$ konstant bezüglich $q$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $q$ gleich $0$ .

$- 10000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} (2 q + 0)$

Schritt 3.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.5.1

Addiere $2 q$ und $0$ .

$- 10000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} (2 q)$

Schritt 3.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 10000$ .

$- 20000 {(q^{2} + 25)}^{- 2} q$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20000 \frac{1}{{(q^{2} + 25)}^{2}} q$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $- 20000$ und $\frac{1}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$ .

$\frac{- 20000}{{(q^{2} + 25)}^{2}} q$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{20000}{{(q^{2} + 25)}^{2}} q$

Schritt 3.4.2.3

Kombiniere $q$ und $\frac{20000}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$ .

$- \frac{q \cdot 20000}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$

Schritt 3.4.2.4

Bringe $20000$ auf die linke Seite von $q$ .

$- \frac{20000 q}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$p' = - \frac{20000 q}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $p'$ durch $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = - \frac{20000 q}{{(q^{2} + 25)}^{2}}$