Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{x^{10}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\frac{1}{x^{10}}$ als ${(x^{10})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{10})}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{10})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{10 \cdot - 1}]$

Schritt 1.1.2.2

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 10}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 10$ .

$- 10 x^{- 11}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 10 \frac{1}{x^{11}}$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.2.1

Kombiniere $- 10$ und $\frac{1}{x^{11}}$ .

$\frac{- 10}{x^{11}}$

Schritt 1.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{10}{x^{11}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{10}{x^{11}}$ nach $x$ gleich $- 10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{11}}]$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{11}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{11}}$ als ${(x^{11})}^{- 1}$ um.

$- 10 \frac{d}{d x} [{(x^{11})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{11})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [x^{11 \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $11$ mit $- 1$ .

$- 10 \frac{d}{d x} [x^{- 11}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 11$ .

$- 10 (- 11 x^{- 12})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 11$ mit $- 10$ .

$110 x^{- 12}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$110 \frac{1}{x^{12}}$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $110$ und $\frac{1}{x^{12}}$ .

$f'' (x) = \frac{110}{x^{12}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Da $110$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{110}{x^{12}}$ nach $x$ gleich $110 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{12}}]$ .

$110 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{12}}]$

Schritt 3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{12}}$ als ${(x^{12})}^{- 1}$ um.

$110 \frac{d}{d x} [{(x^{12})}^{- 1}]$

Schritt 3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{12})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$110 \frac{d}{d x} [x^{12 \cdot - 1}]$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$110 \frac{d}{d x} [x^{- 12}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 12$ .

$110 (- 12 x^{- 13})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $110$ .

$- 1320 x^{- 13}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1320 \frac{1}{x^{13}}$

Schritt 3.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.2.1

Kombiniere $- 1320$ und $\frac{1}{x^{13}}$ .

$\frac{- 1320}{x^{13}}$

Schritt 3.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f''' (x) = - \frac{1320}{x^{13}}$

Schritt 4

Bestimme die vierte Ableitung.

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Schritt 4.1

Da $- 1320$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1320}{x^{13}}$ nach $x$ gleich $- 1320 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{13}}]$ .

$- 1320 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{13}}]$

Schritt 4.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{13}}$ als ${(x^{13})}^{- 1}$ um.

$- 1320 \frac{d}{d x} [{(x^{13})}^{- 1}]$

Schritt 4.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{13})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1320 \frac{d}{d x} [x^{13 \cdot - 1}]$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $13$ mit $- 1$ .

$- 1320 \frac{d}{d x} [x^{- 13}]$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 13$ .

$- 1320 (- 13 x^{- 14})$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 13$ mit $- 1320$ .

$17160 x^{- 14}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$17160 \frac{1}{x^{14}}$

Schritt 4.5.2

Kombiniere $17160$ und $\frac{1}{x^{14}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{17160}{x^{14}}$