Analysis Beispiele

$b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2} = a^{2} b^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (a^{2} b^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $b^{2} x^{2} + a^{2} y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [b^{2} x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = b^{2}$ und $g (x) = x^{2}$ .

$b^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}] + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = b$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $b$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $b$ .

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 b \frac{d}{d x} [b]) + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Schritt 2.2.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [b]$ als $b'$ um.

$b^{2} (2 x) + x^{2} (2 b b') + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Schritt 2.2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $b^{2}$ .

$2 \cdot b^{2} x + x^{2} (2 b b') + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Schritt 2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' + \frac{d}{d x} [a^{2} y^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1

Da $a^{2} y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a^{2} y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' + 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $2 b^{2} x + 2 x^{2} b b'$ und $0$ .

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $a^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a^{2} b^{2}$ nach $x$ gleich $a^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}]$ .

$a^{2} \frac{d}{d x} [b^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = b$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $b$ .

$a^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [b])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$a^{2} (2 u \frac{d}{d x} [b])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $b$ .

$a^{2} (2 b \frac{d}{d x} [b])$

Schritt 3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $a^{2}$ .

$2 \cdot a^{2} b \frac{d}{d x} [b]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [b]$ als $b'$ um.

$2 a^{2} b b'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' = 2 a^{2} b b'$

Schritt 5

Löse nach $b'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $2 a^{2} b b'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 b^{2} x + 2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b' = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $2 b^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b' = - 2 b^{2} x$

Schritt 5.3

Faktorisiere $2 b b'$ aus $2 x^{2} b b' - 2 a^{2} b b'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $2 b b'$ aus $2 x^{2} b b'$ heraus.

$2 b b' x^{2} - 2 a^{2} b b' = - 2 b^{2} x$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $2 b b'$ aus $- 2 a^{2} b b'$ heraus.

$2 b b' x^{2} + 2 b b' (- a^{2}) = - 2 b^{2} x$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $2 b b'$ aus $2 b b' x^{2} + 2 b b' (- a^{2})$ heraus.

$2 b b' (x^{2} - a^{2}) = - 2 b^{2} x$

Schritt 5.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = a$ .

$2 b b' ((x + a) (x - a)) = - 2 b^{2} x$

Schritt 5.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$ durch $2 b (x + a) (x - a)$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 b b' (x + a) (x - a) = - 2 b^{2} x$ durch $2 b (x + a) (x - a)$ .

$\frac{2 b b' (x + a) (x - a)}{2 b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 b b' (x + a) (x - a)}{2 b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Schritt 5.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{b b' (x + a) (x - a)}{(b (x + a)) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Schritt 5.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

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Schritt 5.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{b b' (x + a) (x - a)}{b (x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Schritt 5.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{b' (x + a) (x - a)}{(x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Schritt 5.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + a$ .

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Schritt 5.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{b' (x + a) (x - a)}{(x + a) (x - a)} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Schritt 5.5.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{b' (x - a)}{x - a} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Schritt 5.5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - a$ .

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Schritt 5.5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{b' (x - a)}{x - a} = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Schritt 5.5.2.4.2

Dividiere $b'$ durch $1$ .

$b' = \frac{- 2 b^{2} x}{2 b (x + a) (x - a)}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 5.5.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 b^{2} x$ heraus.

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 b (x + a) (x - a)}$

Schritt 5.5.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 b (x + a) (x - a)$ heraus.

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 ((b (x + a)) (x - a))}$

Schritt 5.5.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b' = \frac{2 (- b^{2} x)}{2 ((b (x + a)) (x - a))}$

Schritt 5.5.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$b' = \frac{- b^{2} x}{(b (x + a)) (x - a)}$

Schritt 5.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $b^{2}$ und $b$ .

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Schritt 5.5.3.2.1

Faktorisiere $b$ aus $- b^{2} x$ heraus.

$b' = \frac{b (- b x)}{(b (x + a)) (x - a)}$

Schritt 5.5.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.3.2.2.1

Faktorisiere $b$ aus $(b (x + a)) (x - a)$ heraus.

$b' = \frac{b (- b x)}{b ((x + a) (x - a))}$

Schritt 5.5.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$b' = \frac{b (- b x)}{b ((x + a) (x - a))}$

Schritt 5.5.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$b' = \frac{- b x}{(x + a) (x - a)}$

Schritt 5.5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$b' = - \frac{b x}{(x + a) (x - a)}$

Schritt 6

Ersetze $b'$ durch $\frac{d b}{d x}$ .

$\frac{d b}{d x} = - \frac{b x}{(x + a) (x - a)}$