Analysis Beispiele

$y = x - x^{2}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = x - x^{2}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $x - x^{2} = 0$ um.

$x - x^{2} = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Es sei $u = x$ . Ersetze $u$ für alle $x$ .

$u - u^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $u$ aus $u - u^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.2.2.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$u - u^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Faktorisiere $u$ aus $u^{1}$ heraus.

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

Schritt 1.2.2.2.3

Faktorisiere $u$ aus $- u^{2}$ heraus.

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

Schritt 1.2.2.2.4

Faktorisiere $u$ aus $u \cdot 1 + u (- u)$ heraus.

$u (1 - u) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x$ .

$x (1 - x) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 1.2.5

Setze $1 - x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $1 - x$ gleich $0$ .

$1 - x = 0$

Schritt 1.2.5.2

Löse $1 - x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 1.2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 1.2.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.5.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 1.2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (1 - x) = 0$ wahr machen.

$x = 0, 1$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (1, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = (0) - {(0)}^{2}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 0 - 0^{2}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = (0) - {(0)}^{2}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $(0) - {(0)}^{2}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.3.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 0$

Schritt 2.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = 0 + 0$

Schritt 2.2.3.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(0, 0), (1, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 0)$

Schritt 4