Analysis Beispiele

${(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{3}{2}}$ und $g (t) = 4 t^{2} - 6 t + 10$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 t^{2} - 6 t + 10$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 6 t + 10]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 6 t + 10]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 t^{2} - 6 t + 10$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d t} [4 t^{2} - 6 t + 10]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 t^{2} - 6 t + 10$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10]$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10])$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d t} [4 t^{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4 t^{2}$ nach $t$ gleich $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (4 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t + \frac{d}{d t} [- 6 t] + \frac{d}{d t} [10])$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d t} [- 6 t]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 6 t$ nach $t$ gleich $- 6 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [10])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [10])$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6 + \frac{d}{d t} [10])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1

Da $10$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6 + 0)$

Schritt 5.2

Addiere $8 t - 6$ und $0$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1} (8 t - 6)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereine die Terme

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Schritt 6.1.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (8 t - 6)$

Schritt 6.1.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (8 t - 6)$

Schritt 6.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} (8 t - 6)$

Schritt 6.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{3 - 2}{2}} (8 t - 6)$

Schritt 6.1.4.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{3}{2} {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}} (8 t - 6)$

Schritt 6.1.5

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und ${(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 6)$

Schritt 6.2

Stelle die Faktoren von $\frac{3 {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}}}{2} (8 t - 6)$ um.

$(8 t - 6) \frac{3 {(4 t^{2} - 6 t + 10)}^{\frac{1}{2}}}{2}$