Analysis Beispiele

$7 e^{- 0.2 t} (1 - 0.2 t)$

Schritt 1

Da $7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $7 e^{- 0.2 t} (1 - 0.2 t)$ nach $t$ gleich $7 \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t} (1 - 0.2 t)]$ .

$7 \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t} (1 - 0.2 t)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = e^{- 0.2 t}$ und $g (t) = 1 - 0.2 t$ .

$7 (e^{- 0.2 t} \frac{d}{d t} [1 - 0.2 t] + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 0.2 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 0.2 t]$ .

$7 (e^{- 0.2 t} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- 0.2 t]) + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Schritt 3.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$7 (e^{- 0.2 t} (0 + \frac{d}{d t} [- 0.2 t]) + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d t} [- 0.2 t]$ .

$7 (e^{- 0.2 t} \frac{d}{d t} [- 0.2 t] + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Schritt 3.4

Da $- 0.2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 0.2 t$ nach $t$ gleich $- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$7 (e^{- 0.2 t} (- 0.2 \frac{d}{d t} [t]) + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 (e^{- 0.2 t} (- 0.2 \cdot 1) + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 0.2$ mit $1$ .

$7 (e^{- 0.2 t} \cdot - 0.2 + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Schritt 3.6.2

Bringe $- 0.2$ auf die linke Seite von $e^{- 0.2 t}$ .

$7 (- 0.2 \cdot e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) \frac{d}{d t} [e^{- 0.2 t}])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = - 0.2 t$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 0.2 t$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- 0.2 t]))$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) (e^{u} \frac{d}{d t} [- 0.2 t]))$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u$ durch $- 0.2 t$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) (e^{- 0.2 t} \frac{d}{d t} [- 0.2 t]))$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $- 0.2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 0.2 t$ nach $t$ gleich $- 0.2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t} (- 0.2 \frac{d}{d t} [t]))$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t} (- 0.2 \cdot 1))$

Schritt 5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $- 0.2$ mit $1$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t} \cdot - 0.2)$

Schritt 5.3.2

Bringe $- 0.2$ auf die linke Seite von $(1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t}$ .

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} - 0.2 \cdot ((1 - 0.2 t) e^{- 0.2 t}))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} + (- 0.2 \cdot 1 - 0.2 (- 0.2 t)) e^{- 0.2 t})$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t} - 0.2 \cdot 1 e^{- 0.2 t} - 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$7 (- 0.2 e^{- 0.2 t}) + 7 (- 0.2 \cdot 1 e^{- 0.2 t}) + 7 (- 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

Schritt 6.4

Vereine die Terme

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $- 0.2$ mit $7$ .

$- 1.4 e^{- 0.2 t} + 7 (- 0.2 \cdot 1 e^{- 0.2 t}) + 7 (- 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $- 0.2$ mit $1$ .

$- 1.4 e^{- 0.2 t} + 7 (- 0.2 e^{- 0.2 t}) + 7 (- 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

Schritt 6.4.3

Mutltipliziere $- 0.2$ mit $7$ .

$- 1.4 e^{- 0.2 t} - 1.4 e^{- 0.2 t} + 7 (- 0.2 (- 0.2 t) e^{- 0.2 t})$

Schritt 6.4.4

Mutltipliziere $- 0.2$ mit $- 0.2$ .

$- 1.4 e^{- 0.2 t} - 1.4 e^{- 0.2 t} + 7 (0.04 t e^{- 0.2 t})$

Schritt 6.4.5

Mutltipliziere $0.04$ mit $7$ .

$- 1.4 e^{- 0.2 t} - 1.4 e^{- 0.2 t} + 0.28 (t e^{- 0.2 t})$

Schritt 6.4.6

Subtrahiere $1.4 e^{- 0.2 t}$ von $- 1.4 e^{- 0.2 t}$ .

$- 2.8 e^{- 0.2 t} + 0.28 t e^{- 0.2 t}$

Schritt 6.5

Stelle die Terme um.

$0.28 e^{- 0.2 t} t - 2.8 e^{- 0.2 t}$

Schritt 6.6

Stelle die Faktoren in $0.28 e^{- 0.2 t} t - 2.8 e^{- 0.2 t}$ um.

$0.28 t e^{- 0.2 t} - 2.8 e^{- 0.2 t}$