Analysis Beispiele

$p (t) = 20 - \frac{7}{t + 2}$

Schritt 1

Differenziere.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $20 - \frac{7}{t + 2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [20] + \frac{d}{d t} [- \frac{7}{t + 2}]$ .

$\frac{d}{d t} [20] + \frac{d}{d t} [- \frac{7}{t + 2}]$

Schritt 1.2

Da $20$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $20$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- \frac{7}{t + 2}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d t} [- \frac{7}{t + 2}]$ .

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Schritt 2.1

Da $- 7$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{7}{t + 2}$ nach $t$ gleich $- 7 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 2}]$ .

$0 - 7 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t + 2}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{t + 2}$ als ${(t + 2)}^{- 1}$ um.

$0 - 7 \frac{d}{d t} [{(t + 2)}^{- 1}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{- 1}$ und $g (t) = t + 2$ .

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Schritt 2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t + 2$ .

$0 - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t + 2])$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 2])$

Schritt 2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $t + 2$ .

$0 - 7 (- {(t + 2)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t + 2])$

Schritt 2.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 2$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$0 - 7 (- {(t + 2)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]))$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 - 7 (- {(t + 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d t} [2]))$

Schritt 2.6

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 - 7 (- {(t + 2)}^{- 2} (1 + 0))$

Schritt 2.7

Addiere $1$ und $0$ .

$0 - 7 (- {(t + 2)}^{- 2} \cdot 1)$

Schritt 2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 - 7 (- {(t + 2)}^{- 2})$

Schritt 2.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$0 + 7 {(t + 2)}^{- 2}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 7 \frac{1}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{{(t + 2)}^{2}}$ .

$0 + \frac{7}{{(t + 2)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Addiere $0$ und $\frac{7}{{(t + 2)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(t + 2)}^{2}}$