Analysis Beispiele

$y = \frac{t^{2} + 3}{{(5 t - 2)}^{9}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ gleich $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ist mit $f (t) = t^{2} + 3$ und $g (t) = {(5 t - 2)}^{9}$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{({(5 t - 2)}^{9})}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(5 t - 2)}^{9})}^{2}$ .

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Schritt 2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{9 \cdot 2}}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 3] - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} + 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (2 t + \frac{d}{d t} [3]) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Schritt 2.4

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (2 t + 0) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.1

Addiere $2 t$ und $0$ .

$\frac{{(5 t - 2)}^{9} (2 t) - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Schritt 2.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(5 t - 2)}^{9}$ .

$\frac{2 \cdot {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) \frac{d}{d t} [{(5 t - 2)}^{9}]}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{9}$ und $g (t) = 5 t - 2$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $5 t - 2$ .

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 9$ .

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) (9 u^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $5 t - 2$ .

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - (t^{2} + 3) (9 {(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Schritt 4

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{2 {(5 t - 2)}^{9} t - 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Schritt 4.2

Faktorisiere ${(5 t - 2)}^{8}$ aus $2 {(5 t - 2)}^{9} t - 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])$ heraus.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere ${(5 t - 2)}^{8}$ aus $2 {(5 t - 2)}^{9} t$ heraus.

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t) - 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Schritt 4.2.2

Faktorisiere ${(5 t - 2)}^{8}$ aus $- 9 (t^{2} + 3) ({(5 t - 2)}^{8} \frac{d}{d t} [5 t - 2])$ heraus.

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t) + {(5 t - 2)}^{8} (- 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Schritt 4.2.3

Faktorisiere ${(5 t - 2)}^{8}$ aus ${(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t) + {(5 t - 2)}^{8} (- 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))$ heraus.

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{18}}$

Schritt 5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1

Faktorisiere ${(5 t - 2)}^{8}$ aus ${(5 t - 2)}^{18}$ heraus.

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{8} {(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(5 t - 2)}^{8} (2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2]))}{{(5 t - 2)}^{8} {(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t - 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 t - 2$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (\frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 7

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5 t$ nach $t$ gleich $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 9

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 + \frac{d}{d t} [- 2])}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 10

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) (5 + 0)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Addiere $5$ und $0$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 9 (t^{2} + 3) \cdot 5}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 9$ .

$\frac{2 (5 t - 2) t - 45 (t^{2} + 3)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 (5 t) + 2 \cdot - 2) t - 45 (t^{2} + 3)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (5 t) t + 2 \cdot - 2 t - 45 (t^{2} + 3)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 12.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (5 t) t + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 12.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.4.1.1

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.4.1.1.1

Bewege $t$ .

$\frac{2 (5 (t \cdot t)) + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 12.4.1.1.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$\frac{2 (5 t^{2}) + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 12.4.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 t^{2} + 2 \cdot - 2 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 12.4.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{10 t^{2} - 4 t - 45 t^{2} - 45 \cdot 3}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 12.4.1.4

Mutltipliziere $- 45$ mit $3$ .

$\frac{10 t^{2} - 4 t - 45 t^{2} - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 12.4.2

Subtrahiere $45 t^{2}$ von $10 t^{2}$ .

$\frac{- 35 t^{2} - 4 t - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 12.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 35 t^{2}$ heraus.

$\frac{- (35 t^{2}) - 4 t - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 12.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 4 t$ heraus.

$\frac{- (35 t^{2}) - (4 t) - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 12.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (35 t^{2}) - (4 t)$ heraus.

$\frac{- (35 t^{2} + 4 t) - 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 12.8

Schreibe $- 135$ als $- 1 (135)$ um.

$\frac{- (35 t^{2} + 4 t) - 1 (135)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 12.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (35 t^{2} + 4 t) - 1 (135)$ heraus.

$\frac{- (35 t^{2} + 4 t + 135)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 12.10

Schreibe $- (35 t^{2} + 4 t + 135)$ als $- 1 (35 t^{2} + 4 t + 135)$ um.

$\frac{- 1 (35 t^{2} + 4 t + 135)}{{(5 t - 2)}^{10}}$

Schritt 12.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{35 t^{2} + 4 t + 135}{{(5 t - 2)}^{10}}$