Analysis Beispiele

$- 2 t {(6 t^{8} - 1)}^{7}$

Schritt 1

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 2 t {(6 t^{8} - 1)}^{7}$ nach $t$ gleich $- 2 \frac{d}{d t} [t {(6 t^{8} - 1)}^{7}]$ .

$- 2 \frac{d}{d t} [t {(6 t^{8} - 1)}^{7}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ gleich $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ist mit $f (t) = t$ und $g (t) = {(6 t^{8} - 1)}^{7}$ .

$- 2 (t \frac{d}{d t} [{(6 t^{8} - 1)}^{7}] + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{7}$ und $g (t) = 6 t^{8} - 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 t^{8} - 1$ .

$- 2 (t (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d t} [6 t^{8} - 1]) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$- 2 (t (7 u^{6} \frac{d}{d t} [6 t^{8} - 1]) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $6 t^{8} - 1$ .

$- 2 (t (7 {(6 t^{8} - 1)}^{6} \frac{d}{d t} [6 t^{8} - 1]) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 t^{8} - 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [6 t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$- 2 (t (7 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (\frac{d}{d t} [6 t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.2

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $6 t^{8}$ nach $t$ gleich $6 \frac{d}{d t} [t^{8}]$ .

$- 2 (t (7 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (6 \frac{d}{d t} [t^{8}] + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 8$ .

$- 2 (t (7 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (6 (8 t^{7}) + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $8$ mit $6$ .

$- 2 (t (7 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (48 t^{7} + \frac{d}{d t} [- 1])) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$- 2 (t (7 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (48 t^{7} + 0)) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Addiere $48 t^{7}$ und $0$ .

$- 2 (t (7 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (48 t^{7})) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $48$ mit $7$ .

$- 2 (t (336 {(6 t^{8} - 1)}^{6} t^{7}) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 5

Potenziere $t$ mit $1$ .

$- 2 (t^{7} t^{1} (336 {(6 t^{8} - 1)}^{6}) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 (t^{7 + 1} (336 {(6 t^{8} - 1)}^{6}) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 7

Addiere $7$ und $1$ .

$- 2 (t^{8} (336 {(6 t^{8} - 1)}^{6}) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \frac{d}{d t} [t])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 (t^{8} (336 {(6 t^{8} - 1)}^{6}) + {(6 t^{8} - 1)}^{7} \cdot 1)$

Schritt 9

Mutltipliziere ${(6 t^{8} - 1)}^{7}$ mit $1$ .

$- 2 (t^{8} (336 {(6 t^{8} - 1)}^{6}) + {(6 t^{8} - 1)}^{7})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 (t^{8} (336 {(6 t^{8} - 1)}^{6})) - 2 {(6 t^{8} - 1)}^{7}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $336$ mit $- 2$ .

$- 672 (t^{8} ({(6 t^{8} - 1)}^{6})) - 2 {(6 t^{8} - 1)}^{7}$

Schritt 10.3

Faktorisiere $2 {(6 t^{8} - 1)}^{6}$ aus $- 672 t^{8} {(6 t^{8} - 1)}^{6} - 2 {(6 t^{8} - 1)}^{7}$ heraus.

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $2 {(6 t^{8} - 1)}^{6}$ aus $- 672 t^{8} {(6 t^{8} - 1)}^{6}$ heraus.

$2 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (- 336 t^{8}) - 2 {(6 t^{8} - 1)}^{7}$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere $2 {(6 t^{8} - 1)}^{6}$ aus $- 2 {(6 t^{8} - 1)}^{7}$ heraus.

$2 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (- 336 t^{8}) + 2 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (- (6 t^{8} - 1))$

Schritt 10.3.3

Faktorisiere $2 {(6 t^{8} - 1)}^{6}$ aus $2 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (- 336 t^{8}) + 2 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (- (6 t^{8} - 1))$ heraus.

$2 {(6 t^{8} - 1)}^{6} (- 336 t^{8} - (6 t^{8} - 1))$