Analysis Beispiele

${(\frac{b}{a + z^{2}})}^{9}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ ist $f' (g (a)) g' (a)$ , mit $f (a) = a^{9}$ und $g (a) = \frac{b}{a + z^{2}}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{b}{a + z^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{9}] \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 9$ .

$9 {u_{1}}^{8} \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{b}{a + z^{2}}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} \frac{d}{d a} [\frac{b}{a + z^{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 2.1

Da $b$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $\frac{b}{a + z^{2}}$ nach $a$ gleich $b \frac{d}{d a} [\frac{1}{a + z^{2}}]$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b \frac{d}{d a} [\frac{1}{a + z^{2}}])$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{a + z^{2}}$ als ${(a + z^{2})}^{- 1}$ um.

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b \frac{d}{d a} [{(a + z^{2})}^{- 1}])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ ist $f' (g (a)) g' (a)$ , mit $f (a) = a^{- 1}$ und $g (a) = a + z^{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $a + z^{2}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $a + z^{2}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} \frac{d}{d a} [a + z^{2}]))$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a + z^{2}$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [z^{2}]$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [z^{2}])))$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (1 + \frac{d}{d a} [z^{2}])))$

Schritt 4.3

Da $z^{2}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $z^{2}$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} (1 + 0)))$

Schritt 4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2} \cdot 1))$

Schritt 4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- {(a + z^{2})}^{- 2}))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (b (- \frac{1}{{(a + z^{2})}^{2}}))$

Schritt 5.2

Kombiniere $b$ und $\frac{1}{{(a + z^{2})}^{2}}$ .

$9 {(\frac{b}{a + z^{2}})}^{8} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{b}{a + z^{2}}$ an.

$9 \frac{b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

Schritt 6.2

Vereine die Terme

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $9$ und $\frac{b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}}$ .

$\frac{9 b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}} (- \frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}})$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $\frac{9 b^{8}}{{(a + z^{2})}^{8}}$ mit $\frac{b}{{(a + z^{2})}^{2}}$ .

$- \frac{9 b^{8} b}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

Schritt 6.2.3

Potenziere $b$ mit $1$ .

$- \frac{9 (b^{1} b^{8})}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

Schritt 6.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{9 b^{1 + 8}}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

Schritt 6.2.5

Addiere $1$ und $8$ .

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{8} {(a + z^{2})}^{2}}$

Schritt 6.2.6

Multipliziere ${(a + z^{2})}^{8}$ mit ${(a + z^{2})}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.6.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{8 + 2}}$

Schritt 6.2.6.2

Addiere $8$ und $2$ .

$- \frac{9 b^{9}}{{(a + z^{2})}^{10}}$