Analysis Beispiele

$s (t) = 2 \sqrt{t + 1}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t + 1}$ als ${(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d t} [2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ und $g (t) = t + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $t + 1$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $t + 1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 (\frac{1}{2} {(t + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 7.3

Bringe ${(t + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Schritt 7.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ und $2$ .

$\frac{2}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 1]$

Schritt 7.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 {(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 1]$

Schritt 7.6

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [t + 1]$

Schritt 8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d t} [1])$

Schritt 10

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Schritt 11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{\frac{1}{2}}}$