Analysis Beispiele

$f (x) = {(14 x - x^{2})}^{3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = 14 x - x^{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $14 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [14 x - x^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [14 x - x^{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $14 x - x^{2}$ .

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [14 x - x^{2}]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $14 x - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (\frac{d}{d x} [14 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [14 x]$ .

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Schritt 3.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (14 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (14 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (14 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Schritt 4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (14 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (14 - (2 x))$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (14 - 2 x)$

Schritt 5

Stelle die Terme um.

$3 {(14 x - x^{2})}^{2} (- 2 x + 14)$