Analysis Beispiele

$\frac{1}{{(25 - x^{2})}^{3}}$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Schreibe $\frac{1}{{(25 - x^{2})}^{3}}$ als ${({(25 - x^{2})}^{3})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{({(25 - x^{2})}^{3})}^{- 1}]$

Schritt 1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(25 - x^{2})}^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(25 - x^{2})}^{- 3}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 3}$ und $g (x) = 25 - x^{2}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $25 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $25 - x^{2}$ .

$- 3 {(25 - x^{2})}^{- 4} \frac{d}{d x} [25 - x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $25 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 3 {(25 - x^{2})}^{- 4} (\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.2

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 {(25 - x^{2})}^{- 4} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- 3 {(25 - x^{2})}^{- 4} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 {(25 - x^{2})}^{- 4} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$3 {(25 - x^{2})}^{- 4} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 {(25 - x^{2})}^{- 4} (2 x)$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 {(25 - x^{2})}^{- 4} x$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \frac{1}{{(25 - x^{2})}^{4}} x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereine die Terme

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Schritt 5.1.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{{(25 - x^{2})}^{4}}$ .

$\frac{6}{{(25 - x^{2})}^{4}} x$

Schritt 5.1.2

Kombiniere $\frac{6}{{(25 - x^{2})}^{4}}$ und $x$ .

$\frac{6 x}{{(25 - x^{2})}^{4}}$

Schritt 5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{6 x}{{(- x^{2} + 25)}^{4}}$