Analysis Beispiele

${(3.1 x - 6)}^{2} - \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}$

Schritt 1

Schreibe ${(3.1 x - 6)}^{2}$ als $(3.1 x - 6) (3.1 x - 6)$ um.

$\frac{d}{d x} [(3.1 x - 6) (3.1 x - 6) - \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 2

Multipliziere $(3.1 x - 6) (3.1 x - 6)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3.1 x (3.1 x - 6) - 6 (3.1 x - 6) - \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3.1 x (3.1 x) + 3.1 x \cdot - 6 - 6 (3.1 x - 6) - \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [3.1 x (3.1 x) + 3.1 x \cdot - 6 - 6 (3.1 x) - 6 \cdot - 6 - \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [3.1 \cdot 3.1 x \cdot x + 3.1 x \cdot - 6 - 6 (3.1 x) - 6 \cdot - 6 - \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [3.1 \cdot 3.1 (x \cdot x) + 3.1 x \cdot - 6 - 6 (3.1 x) - 6 \cdot - 6 - \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [3.1 \cdot 3.1 x^{2} + 3.1 x \cdot - 6 - 6 (3.1 x) - 6 \cdot - 6 - \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $3.1$ mit $3.1$ .

$\frac{d}{d x} [9.61 x^{2} + 3.1 x \cdot - 6 - 6 (3.1 x) - 6 \cdot - 6 - \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $3.1$ .

$\frac{d}{d x} [9.61 x^{2} - 18.6 x - 6 (3.1 x) - 6 \cdot - 6 - \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $3.1$ mit $- 6$ .

$\frac{d}{d x} [9.61 x^{2} - 18.6 x - 18.6 x - 6 \cdot - 6 - \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 6$ .

$\frac{d}{d x} [9.61 x^{2} - 18.6 x - 18.6 x + 36 - \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $18.6 x$ von $- 18.6 x$ .

$\frac{d}{d x} [9.61 x^{2} - 37.2 x + 36 - \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9.61 x^{2} - 37.2 x + 36 - \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9.61 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 37.2 x] + \frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9.61 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 37.2 x] + \frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 5

Berechne $\frac{d}{d x} [9.61 x^{2}]$ .

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Schritt 5.1

Da $9.61$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9.61 x^{2}$ nach $x$ gleich $9.61 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$9.61 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 37.2 x] + \frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$9.61 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 37.2 x] + \frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $9.61$ .

$19.22 x + \frac{d}{d x} [- 37.2 x] + \frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 6

Berechne $\frac{d}{d x} [- 37.2 x]$ .

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Schritt 6.1

Da $- 37.2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 37.2 x$ nach $x$ gleich $- 37.2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$19.22 x - 37.2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$19.22 x - 37.2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 37.2$ mit $1$ .

$19.22 x - 37.2 + \frac{d}{d x} [36] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 7

Da $36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $36$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$

Schritt 8

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}]$ .

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Schritt 8.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}] + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.2

Schreibe $\frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}$ als ${({(3.1 x - 6)}^{2})}^{- 1}$ um.

$19.22 x - 37.2 + 0 - \frac{d}{d x} [{({(3.1 x - 6)}^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = {(3.1 x - 6)}^{2}$ .

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Schritt 8.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(3.1 x - 6)}^{2}$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [{(3.1 x - 6)}^{2}]) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(3.1 x - 6)}^{2}]) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(3.1 x - 6)}^{2}$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- {({(3.1 x - 6)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [{(3.1 x - 6)}^{2}]) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 3.1 x - 6$ .

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Schritt 8.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3.1 x - 6$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- {({(3.1 x - 6)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3.1 x - 6])) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- {({(3.1 x - 6)}^{2})}^{- 2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3.1 x - 6])) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3.1 x - 6$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- {({(3.1 x - 6)}^{2})}^{- 2} (2 (3.1 x - 6) \frac{d}{d x} [3.1 x - 6])) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3.1 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3.1 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- {({(3.1 x - 6)}^{2})}^{- 2} (2 (3.1 x - 6) (\frac{d}{d x} [3.1 x] + \frac{d}{d x} [- 6]))) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.6

Da $3.1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3.1 x$ nach $x$ gleich $3.1 \frac{d}{d x} [x]$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- {({(3.1 x - 6)}^{2})}^{- 2} (2 (3.1 x - 6) (3.1 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]))) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- {({(3.1 x - 6)}^{2})}^{- 2} (2 (3.1 x - 6) (3.1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]))) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.8

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- {({(3.1 x - 6)}^{2})}^{- 2} (2 (3.1 x - 6) (3.1 \cdot 1 + 0))) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 8.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- {({(3.1 x - 6)}^{2})}^{- 2} (2 (3.1 x - 6) (3.1 \cdot 1 + 0))) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 8.10

Multipliziere die Exponenten in ${({(3.1 x - 6)}^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 8.10.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- {(3.1 x - 6)}^{2 \cdot - 2} (2 (3.1 x - 6) (3.1 \cdot 1 + 0))) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 8.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- {(3.1 x - 6)}^{- 4} (2 (3.1 x - 6) (3.1 \cdot 1 + 0))) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 8.11

Mutltipliziere $3.1$ mit $1$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- {(3.1 x - 6)}^{- 4} (2 (3.1 x - 6) (3.1 + 0))) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 8.12

Addiere $3.1$ und $0$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- {(3.1 x - 6)}^{- 4} (2 (3.1 x - 6) \cdot 3.1)) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 8.13

Mutltipliziere $3.1$ mit $2$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- {(3.1 x - 6)}^{- 4} (6.2 (3.1 x - 6))) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 8.14

Mutltipliziere $6.2$ mit $- 1$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- 6.2 {(3.1 x - 6)}^{- 4} (3.1 x - 6)) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 8.15

Potenziere $3.1 x - 6$ mit $1$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- 6.2 ({(3.1 x - 6)}^{1} {(3.1 x - 6)}^{- 4})) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 8.16

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- 6.2 {(3.1 x - 6)}^{1 - 4}) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 8.17

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 - (- 6.2 {(3.1 x - 6)}^{- 3}) + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 8.18

Mutltipliziere $- 6.2$ mit $- 1$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 + 6.2 {(3.1 x - 6)}^{- 3} + \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}} \cdot 0$

Schritt 8.19

Mutltipliziere $\frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{2}}$ mit $0$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 + 6.2 {(3.1 x - 6)}^{- 3} + 0$

Schritt 8.20

Addiere $6.2 {(3.1 x - 6)}^{- 3}$ und $0$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 + 6.2 {(3.1 x - 6)}^{- 3}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$19.22 x - 37.2 + 0 + 6.2 \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{3}}$

Schritt 9.2

Vereine die Terme

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Schritt 9.2.1

Addiere $19.22 x - 37.2$ und $0$ .

$19.22 x - 37.2 + 6.2 \frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{3}}$

Schritt 9.2.2

Kombiniere $6.2$ und $\frac{1}{{(3.1 x - 6)}^{3}}$ .

$19.22 x - 37.2 + \frac{6.2}{{(3.1 x - 6)}^{3}}$

Schritt 9.3

Stelle die Terme um.

$19.22 x + \frac{6.2}{{(3.1 x - 6)}^{3}} - 37.2$

Schritt 9.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.4.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 9.4.1.1

Faktorisiere $0.1$ aus $3.1 x - 6$ heraus.

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Schritt 9.4.1.1.1

Faktorisiere $0.1$ aus $3.1 x$ heraus.

$19.22 x + \frac{6.2}{{(0.1 (31 x) - 6)}^{3}} - 37.2$

Schritt 9.4.1.1.2

Faktorisiere $0.1$ aus $- 6$ heraus.

$19.22 x + \frac{6.2}{{(0.1 (31 x) + 0.1 (- 60))}^{3}} - 37.2$

Schritt 9.4.1.1.3

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 (31 x) + 0.1 (- 60)$ heraus.

$19.22 x + \frac{6.2}{{(0.1 (31 x - 60))}^{3}} - 37.2$

Schritt 9.4.1.2

Wende die Produktregel auf $0.1 (31 x - 60)$ an.

$19.22 x + \frac{6.2}{{0.1}^{3} {(31 x - 60)}^{3}} - 37.2$

Schritt 9.4.1.3

Potenziere $0.1$ mit $3$ .

$19.22 x + \frac{6.2}{0.001 {(31 x - 60)}^{3}} - 37.2$

Schritt 9.4.2

Faktorisiere $6.2$ aus $6.2$ heraus.

$19.22 x + \frac{6.2 (1)}{0.001 {(31 x - 60)}^{3}} - 37.2$

Schritt 9.4.3

Faktorisiere $0.001$ aus $0.001 {(31 x - 60)}^{3}$ heraus.

$19.22 x + \frac{6.2 (1)}{0.001 ({(31 x - 60)}^{3})} - 37.2$

Schritt 9.4.4

Separiere Brüche.

$19.22 x + \frac{6.2}{0.001} \cdot \frac{1}{{(31 x - 60)}^{3}} - 37.2$

Schritt 9.4.5

Dividiere $6.2$ durch $0.001$ .

$19.22 x + 6200 \frac{1}{{(31 x - 60)}^{3}} - 37.2$

Schritt 9.4.6

Kombiniere $6200$ und $\frac{1}{{(31 x - 60)}^{3}}$ .

$19.22 x + \frac{6200}{{(31 x - 60)}^{3}} - 37.2$