Analysis Beispiele

$y = \cos^{2} (2 π t + 3)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = t^{2}$ und $g (t) = \cos (2 π t + 3)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (2 π t + 3)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (2 π t + 3)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cos (2 π t + 3)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (2 π t + 3)$ .

$2 \cos (2 π t + 3) \frac{d}{d t} [\cos (2 π t + 3)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = \cos (t)$ und $g (t) = 2 π t + 3$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 π t + 3$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 π t + 3])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \sin (u_{2})$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 π t + 3])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 π t + 3$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) \frac{d}{d t} [2 π t + 3])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 π t + 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [2 π t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (\frac{d}{d t} [2 π t] + \frac{d}{d t} [3]))$

Schritt 3.2

Da $2 π$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 π t$ nach $t$ gleich $2 π \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]))$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3]))$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π + \frac{d}{d t} [3]))$

Schritt 3.5

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π + 0))$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $2 π$ und $0$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- \sin (2 π t + 3) (2 π))$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 \cos (2 π t + 3) (- 2 \sin (2 π t + 3) π)$

Schritt 3.6.3

Stelle die Faktoren von $- 2 \sin (2 π t + 3) π$ um.

$2 \cos (2 π t + 3) (- 2 π \sin (2 π t + 3))$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$- 4 \cos (2 π t + 3) π \sin (2 π t + 3)$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren von $- 4 \cos (2 π t + 3) π \sin (2 π t + 3)$ um.

$- 4 π \cos (2 π t + 3) \sin (2 π t + 3)$