Analysis Beispiele

$\frac{3 z^{2} + 12 z - 9}{z^{4}}$

Schritt 1

Bringe $z^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) {(z^{4})}^{- 1} d z$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(z^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) z^{4 \cdot - 1} d z$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\int (3 z^{2} + 12 z - 9) z^{- 4} d z$

Schritt 3

Multipliziere $(3 z^{2} + 12 z - 9) z^{- 4}$ aus.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int (3 z^{2} + 12 z) z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 3 z^{2} z^{- 4} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 3 z^{2 - 4} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Schritt 3.4

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$\int 3 z^{- 2} + 12 z \cdot z^{- 4} - 9 z^{- 4} d z$

Schritt 3.5

Potenziere $z$ mit $1$ .

$\int 3 z^{- 2} + 12 (z^{1} z^{- 4}) - 9 z^{- 4} d z$

Schritt 3.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 3 z^{- 2} + 12 z^{1 - 4} - 9 z^{- 4} d z$

Schritt 3.7

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\int 3 z^{- 2} + 12 z^{- 3} - 9 z^{- 4} d z$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 z^{- 2} d z + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Schritt 5

Da $3$ konstant bezüglich $z$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int z^{- 2} d z + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $z^{- 2}$ nach $z$ gleich $- z^{- 1}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + \int 12 z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Schritt 7

Da $12$ konstant bezüglich $z$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 \int z^{- 3} d z + \int - 9 z^{- 4} d z$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $z^{- 3}$ nach $z$ gleich $- \frac{1}{2} z^{- 2}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2} z^{- 2} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

Schritt 9

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Schritt 9.1

Kombiniere $z^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{z^{- 2}}{2} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

Schritt 9.2

Bringe $z^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) + \int - 9 z^{- 4} d z$

Schritt 10

Da $- 9$ konstant bezüglich $z$ ist, ziehe $- 9$ aus dem Integral.

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 \int z^{- 4} d z$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $z^{- 4}$ nach $z$ gleich $- \frac{1}{3} z^{- 3}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{1}{3} z^{- 3} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

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Schritt 12.1.1

Kombiniere $z^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{z^{- 3}}{3} + C)$

Schritt 12.1.2

Bringe $z^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- z^{- 1} + C) + 12 (- \frac{1}{2 z^{2}} + C) - 9 (- \frac{1}{3 z^{3}} + C)$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} - 9 (- \frac{1}{3 z^{3}}) + C$

Schritt 12.3

Vereinfache.

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Schritt 12.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + 9 \frac{1}{3 z^{3}} + C$

Schritt 12.3.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{3 z^{3}}$ .

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{9}{3 z^{3}} + C$

Schritt 12.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $9$ und $3$ .

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Schritt 12.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 z^{3}} + C$

Schritt 12.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 z^{3}$ heraus.

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 (z^{3})} + C$

Schritt 12.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3 \cdot 3}{3 z^{3}} + C$

Schritt 12.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3}{z} - \frac{6}{z^{2}} + \frac{3}{z^{3}} + C$