Analysis Beispiele

$\frac{2 x + 1}{x + 2}$

Schritt 1

Dividiere $2 x + 1$ durch $x + 2$ .

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Schritt 1.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$2 x$

$1$

Schritt 1.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$2$
	$x$	+	$2$		$2 x$	+	$1$

Schritt 1.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$2$
$x$	+	$2$		$2 x$	+	$1$
			+	$2 x$	+	$4$

Schritt 1.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $2 x + 4$

				$2$
$x$	+	$2$		$2 x$	+	$1$
			-	$2 x$	-	$4$

Schritt 1.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$2$
$x$	+	$2$		$2 x$	+	$1$
			-	$2 x$	-	$4$
					-	$3$

Schritt 1.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int 2 - \frac{3}{x + 2} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 d x + \int - \frac{3}{x + 2} d x$

Schritt 3

Wende die Konstantenregel an.

$2 x + C + \int - \frac{3}{x + 2} d x$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 x + C - \int \frac{3}{x + 2} d x$

Schritt 5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$2 x + C - (3 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

Schritt 6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 x + C - 3 \int \frac{1}{x + 2} d x$

Schritt 7

Sei $u = x + 2$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1

Es sei $u = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 7.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 7.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 x + C - 3 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$2 x + C - 3 (\ln (| u |) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$2 x - 3 \ln (| u |) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$2 x - 3 \ln (| x + 2 |) + C$