Analysis Beispiele

$- \frac{2 x}{x^{2} - 8}$

Schritt 1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{2 x}{x^{2} - 8} d x$

Schritt 2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- (2 \int \frac{x}{x^{2} - 8} d x)$

Schritt 3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \int \frac{x}{x^{2} - 8} d x$

Schritt 4

Sei $u = x^{2} - 8$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Es sei $u = x^{2} - 8$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Differenziere $x^{2} - 8$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 8]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 8]$

Schritt 4.1.4

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 4.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$- 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 2$ .

$\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

$- \ln (| u |) + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 8$ .

$- \ln (| x^{2} - 8 |) + C$