Analysis Beispiele

$\frac{2 d t}{\sqrt{t}}$

Schritt 1

Da $\frac{2 t}{\sqrt{t}}$ konstant bezüglich $d$ ist, ziehe $\frac{2 t}{\sqrt{t}}$ aus dem Integral.

$\frac{2 t}{\sqrt{t}} \int d d \cdot d$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $d$ nach $d$ gleich $\frac{1}{2} d^{2}$ .

$\frac{2 t}{\sqrt{t}} (\frac{1}{2} d^{2} + C)$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{2 t}{\sqrt{t}} (\frac{1}{2} d^{2} + C)$ als $\frac{2 t \sqrt{t}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$ um.

$\frac{2 t \sqrt{t}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{t}$ als $t^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2 t \cdot t^{\frac{1}{2}}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 3.2.2

Multipliziere $t$ mit $t^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.2.1

Bewege $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t)}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $t^{\frac{1}{2}}$ mit $t$ .

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Schritt 3.2.2.2.1

Potenziere $t$ mit $1$ .

$\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{1})}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 3.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2} + 1}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 3.2.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 3.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 t^{\frac{1 + 2}{2}}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 3.2.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{t} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 3.2.3

Bringe $t^{1}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 t^{\frac{3}{2}} t^{- 1} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 3.2.4

Multipliziere $t^{\frac{3}{2}}$ mit $t^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.4.1

Bewege $t^{- 1}$ .

$2 (t^{- 1} t^{\frac{3}{2}}) (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 3.2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 t^{- 1 + \frac{3}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 3.2.4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 t^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 3.2.4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 t^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 3.2.4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 t^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 3.2.4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 t^{\frac{- 2 + 3}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 3.2.4.6.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} d^{2}) + C$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $d^{2}$ .

$2 t^{\frac{1}{2}} \frac{d^{2}}{2} + C$

Schritt 3.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{d^{2}}{2}$ .

$t^{\frac{1}{2}} \frac{2 d^{2}}{2} + C$

Schritt 3.2.7

Kombiniere $t^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 d^{2}}{2}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 d^{2})}{2} + C$

Schritt 3.2.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} d^{2}}{2} + C$

Schritt 3.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} d^{2}}{2} + C$

Schritt 3.2.10

Dividiere $t^{\frac{1}{2}} d^{2}$ durch $1$ .

$t^{\frac{1}{2}} d^{2} + C$