Analysis Beispiele

$\frac{4 + 6 x}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{4 + 6 x}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (4 + 6 x) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (4 + 6 x) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int (4 + 6 x) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (4 + 6 x) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4

Multipliziere $(4 + 6 x) x^{- \frac{1}{2}}$ aus.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x \cdot x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}}) d x$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x^{1 - \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{2 - 1}{2}} d x$

Schritt 4.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\int 4 x^{- \frac{1}{2}} + 6 x^{\frac{1}{2}} d x$

Schritt 4.7

Stelle $4 x^{- \frac{1}{2}}$ und $6 x^{\frac{1}{2}}$ um.

$\int 6 x^{\frac{1}{2}} + 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 6 x^{\frac{1}{2}} d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 6

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + \int 4 x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C) + 4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$6 (\frac{2}{3}) x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{12}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 10.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 \cdot 4}{3 (1)} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{1} x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.3.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + 4 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 10.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$4 x^{\frac{3}{2}} + 8 x^{\frac{1}{2}} + C$