Analysis Beispiele

$\frac{225 + 10 x}{1 + 0.05 x}$

Schritt 1

Sei $u = 1 + 0.05 x$ . Dann ist $d u = 0.05 d x$ , folglich $\frac{1}{0.05} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = 1 + 0.05 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Forme um.

$\frac{0.05}{1}$

Schritt 1.1.2

Dividiere $0.05$ durch $1$ .

$0.05$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{4500 + 200 (20 u - 20)}{u} d u$

Schritt 2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{4500}{u} + \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{4500}{u} d u + \int \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

Schritt 4

Da $4500$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $4500$ aus dem Integral.

$4500 \int \frac{1}{u} d u + \int \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

Schritt 5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$4500 (\ln (| u |) + C) + \int \frac{200 (20 u - 20)}{u} d u$

Schritt 6

Da $200$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $200$ aus dem Integral.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 \int \frac{20 u - 20}{u} d u$

Schritt 7

Dividiere $20 u - 20$ durch $u$ .

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Schritt 7.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$u$

$0$

$20 u$

$20$

Schritt 7.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $20 u$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $u$ .

					$20$
	$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$

Schritt 7.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$20$
$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$
			+	$20 u$	+	$0$

Schritt 7.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $20 u + 0$

				$20$
$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$
			-	$20 u$	-	$0$

Schritt 7.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$20$
$u$	+	$0$		$20 u$	-	$20$
			-	$20 u$	-	$0$
					-	$20$

Schritt 7.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 \int 20 - \frac{20}{u} d u$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (\int 20 d u + \int - \frac{20}{u} d u)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C + \int - \frac{20}{u} d u)$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - \int \frac{20}{u} d u)$

Schritt 11

Da $20$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $20$ aus dem Integral.

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - (20 \int \frac{1}{u} d u))$

Schritt 12

Mutltipliziere $20$ mit $- 1$ .

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - 20 \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 13

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$4500 (\ln (| u |) + C) + 200 (20 u + C - 20 (\ln (| u |) + C))$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Vereinfache.

$4500 \ln (| u |) + 4000 u - 4000 \ln (| u |) + C$

Schritt 14.2

Subtrahiere $4000 \ln (| u |)$ von $4500 \ln (| u |)$ .

$4000 u + 500 \ln (| u |) + C$

Schritt 15

Ersetze alle $u$ durch $1 + 0.05 x$ .

$4000 (1 + 0.05 x) + 500 \ln (| 1 + 0.05 x |) + C$