Analysis Beispiele

$y = \sqrt{2 - x}$ , $x = 1$

Schritt 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

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Schritt 1.1

Setze $1$ für $x$ ein.

$y = \sqrt{2 - (1)}$

Schritt 1.2

Vereinfache $\sqrt{2 - (1)}$ .

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y = \sqrt{2 - 1}$

Schritt 1.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$y = \sqrt{1}$

Schritt 1.2.3

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$y = 1$

Schritt 2

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 1$ und $y = 1$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 - x}$ als ${(2 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(2 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 2 - x$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 - x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 - x$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(2 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 2.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 2.7.3

Bringe ${(2 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Schritt 2.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1)$

Schritt 2.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Schritt 2.13.2

Kombiniere $\frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$\frac{- 1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.13.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{2 {(2 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.14

Bestimme die Ableitung bei $x = 1$ .

$- \frac{1}{2 {(2 - (1))}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15

Vereinfache.

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Schritt 2.15.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.15.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2 {(2 - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15.1.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2.15.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.15.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Schritt 3

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 3.1

Benutze die Steigung $- \frac{1}{2}$ und einen gegebenen Punkt $(1, 1)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (1) = - \frac{1}{2} \cdot (x - (1))$

Schritt 3.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $- \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = - \frac{1}{2} \cdot (x - 1)$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.4

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} \cdot - 1$

Schritt 3.3.1.5

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 3.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Schritt 3.3.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + 1$

Schritt 3.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1 + 2}{2}$

Schritt 3.3.2.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.3.3

Schreibe in $y = m x + b$ -Form.

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Schritt 3.3.3.1

Stelle die Terme um.

$y = - (\frac{1}{2} x) + \frac{3}{2}$

Schritt 3.3.3.2

Entferne die Klammern.

$y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$

Schritt 4