Analysis Beispiele

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - x}{x^{2}}$

Schritt 1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} - 2 x^{2} - x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\int \frac{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - x}{x^{2}} d x$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\int \frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - x}{x^{2}} d x$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- x$ heraus.

$\int \frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ heraus.

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 1}{x^{2}} d x$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 1$ heraus.

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x - 1)}{x^{2}} d x$

Schritt 1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x - 1)}{x \cdot x} d x$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{x (x^{2} - 2 x - 1)}{x \cdot x} d x$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{x^{2} - 2 x - 1}{x} d x$

Schritt 2

Dividiere $x^{2} - 2 x - 1$ durch $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Schritt 2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Schritt 2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{2} + 0$

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Schritt 2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$

Schritt 2.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$

Schritt 2.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 2 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$

Schritt 2.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$
					-	$2 x$	+	$0$

Schritt 2.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 2 x + 0$

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	-	$0$

Schritt 2.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	-	$1$
					+	$2 x$	-	$0$
							-	$1$

Schritt 2.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int x - 2 - \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int x d x + \int - 2 d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 5

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C - (\ln (| x |) + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x - \ln (| x |) + C$