Analysis Beispiele

$\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot (d x)$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Kombiniere $d$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\int \frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} \cdot x d x$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}}$ und $x$ .

$\int \frac{d x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 2

Da $d$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $d$ aus dem Integral.

$d \int \frac{x}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{3}{2}}} d x$

Schritt 3

Sei $u = x^{2} + 2$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = x^{2} + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$d \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$d \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}} \cdot 2} d u$

Schritt 4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{\frac{3}{2}}$ .

$d \int \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$d (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u)$

Schritt 6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $d$ .

$\frac{d}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u$

Schritt 6.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.1

Bringe $u^{\frac{3}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int {(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 6.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 6.2.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d u$

Schritt 6.2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{2} \int u^{\frac{- 3}{2}} d u$

Schritt 6.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{2} \int u^{- \frac{3}{2}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $- 2 u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Schreibe $\frac{d}{2} (- 2 u^{- \frac{1}{2}} + C)$ als $\frac{d}{2} (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$ um.

$\frac{d}{2} (- 2 \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{d}{2} \cdot \frac{- 2}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 8.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{2} (- \frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}) + C$

Schritt 8.2.3

Mutltipliziere $\frac{d}{2}$ mit $\frac{2}{u^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{d \cdot 2}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 8.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $d$ .

$- \frac{2 \cdot d}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 8.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 d}{2 u^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 8.2.6

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d}{u^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 2$ .

$- \frac{d}{{(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}} + C$