Analysis Beispiele

$\frac{1}{1 + \cos (2 x)}$

Schritt 1

Sei $u_{1} = 2 x$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u_{1} = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 1.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + \cos (u_{1})}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{(1 + \cos (u_{1})) \cdot 2} d u_{1}$

Schritt 2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $1 + \cos (u_{1})$ .

$\int \frac{1}{2 (1 + \cos (u_{1}))} d u_{1}$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos (u_{1})} d u_{1}$

Schritt 4

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (x)$ nach $\cos^{2} (\frac{x}{2}) - \sin^{2} (\frac{x}{2})$ zu transformieren.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an, um $1$ in $\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ umzuwandeln.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) + \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) - \sin^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Subtrahiere ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ von ${\sin (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Schritt 6.2

Addiere ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ und ${\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2} + 0} d u_{1}$

Schritt 6.3

Addiere $2 {\cos (\frac{u_{1}}{2})}^{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 7

Multipliziere das Argument mit $\frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})}$

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Schritt 8

Kombinieren.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 \sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Schritt 9

Mutltipliziere ${\sec (\frac{u}{2})}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \sec^{2} (\frac{u}{2})} d u_{1}$

Schritt 10

Schreibe $\sec (\frac{u}{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2}} d u_{1}$

Schritt 11

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ an.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Schritt 12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Schritt 13

Multipliziere $2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ .

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ und $2$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 13.2

Kombiniere $\frac{2}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}$ und $\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u}{2})}{\frac{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2})}} d u_{1}$

Schritt 14

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u}{2}) \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 15

Schreibe $\sec (\frac{u}{2})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{2} \int {(\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})})}^{2} \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 16

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (\frac{u}{2})}$ an.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{u}{2})} \cdot \frac{\cos^{2} (\frac{u}{2})}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 17

Kombinieren.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Schritt 18

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos^{2} (\frac{u}{2})$ .

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Schritt 18.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2} \cos^{2} (\frac{u}{2})}{\cos^{2} (\frac{u}{2}) (2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}))} d u_{1}$

Schritt 18.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \int \frac{1^{2}}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 19

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 20

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 (\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2}) \cdot 1)} d u_{1}$

Schritt 21

Separiere Brüche.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})} d u_{1}$

Schritt 22

Wandle von $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{u_{1}}{2})}$ nach $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ um.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot (1)} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Schritt 23

Kombiniere Brüche.

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Schritt 23.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1}$

Schritt 23.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{\sec^{2} (\frac{u_{1}}{2})}{2} d u_{1}$

Schritt 24

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (\frac{u_{1}}{2}) d u_{1})$

Schritt 25

Sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{2} d u_{1}$ , folglich $2 d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 25.1

Es sei $u_{2} = \frac{u_{1}}{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 25.1.1

Differenziere $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\frac{u_{1}}{2}]$

Schritt 25.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $\frac{u_{1}}{2}$ nach $u_{1}$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 25.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 25.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 25.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{2})$

Schritt 26

Vereinfache.

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Schritt 26.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) (1 \cdot 2) d u_{2})$

Schritt 26.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) \cdot 2 d u_{2})$

Schritt 26.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int 2 \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 27

Da $2$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} (2 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}))$

Schritt 28

Vereinfache.

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Schritt 28.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 28.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 28.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (\frac{2}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 28.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (1 \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 28.3

Mutltipliziere $\int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 29

Da die Ableitung von $\tan (u_{2})$ gleich $\sec^{2} (u_{2})$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (u_{2})$ gleich $\tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (\tan (u_{2}) + C)$

Schritt 30

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \tan (u_{2}) + C$

Schritt 31

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 31.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{u_{1}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \tan (\frac{u_{1}}{2}) + C$

Schritt 31.2

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x$ .

$\frac{1}{2} \tan (\frac{2 x}{2}) + C$

Schritt 32

Vereinfache.

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Schritt 32.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 x}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 32.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} \tan (\frac{2 x}{2}) + C$

Schritt 32.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} \tan (\frac{x}{1}) + C$

Schritt 32.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} \tan (x) + C$