Analysis Beispiele

$\sec^{3} (2 x)$

Schritt 1

Faktorisiere $\sec (2 x)$ aus $\sec^{3} (2 x)$ heraus.

$\int \sec (2 x) \sec^{2} (2 x) d x$

Schritt 2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sec (2 x)$ und $d v = \sec^{2} (2 x)$ .

$\sec (2 x) (\frac{1}{2} \tan (2 x)) - \int \frac{1}{2} \tan (2 x) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{2} \cdot 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2} \cdot 2$ aus dem Integral.

$\sec (2 x) (\frac{1}{2} \tan (2 x)) - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

Schritt 4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\tan (2 x)$ .

$\sec (2 x) \frac{\tan (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

Schritt 4.2

Kombiniere $\sec (2 x)$ und $\frac{\tan (2 x)}{2}$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{1}{2} \cdot 2 \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

Schritt 4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)$

Schritt 5

Potenziere $\tan (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) \sec (2 x) d x)$

Schritt 6

Potenziere $\tan (2 x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) \sec (2 x) d x)$

Schritt 7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int {\tan (2 x)}^{1 + 1} \sec (2 x) d x)$

Schritt 8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \tan^{2} (2 x) \sec (2 x) d x)$

Schritt 8.2

Stelle $\tan^{2} (2 x)$ und $\sec (2 x)$ um.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} \int \sec (2 x) \tan^{2} (2 x) d x)$

Schritt 9

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sec (2 x)$ und $d v = \tan^{2} (2 x)$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) - \int (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) (2 \sec (2 x) \tan (2 x)) d x))$

Schritt 10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) - (2 \int (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)))$

Schritt 11

Vereinfache Terme.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\tan (2 x)$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - (2 \int (- x + \frac{1}{2} \tan (2 x)) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)))$

Schritt 11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\tan (2 x)$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - (2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x)))$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - (\frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - 2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) (\sec (2 x) \tan (2 x)) d x))$

Schritt 11.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{2}{2} (\sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})) - \frac{2}{2} (- 2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x)$

Schritt 11.5

Kombiniere $\sec (2 x)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) - \frac{2}{2} (- 2 \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x)$

Schritt 11.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) + 2 (\frac{2}{2}) \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

Schritt 11.7

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) + \frac{2 \cdot 2}{2} \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

Schritt 11.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) + \frac{4}{2} \int (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \sec (2 x) \tan (2 x) d x$

Schritt 12

Wenn nach $\int \sec^{3} (2 x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int \sec^{3} (2 x) d x$ = $\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}}$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{\sec (2 x) \cdot 2}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

Schritt 13

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.1

Vereinfache.

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Schritt 13.1.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec (2 x)$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{2 \cdot \sec (2 x)}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

Schritt 13.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \frac{2 \sec (2 x)}{2} (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

Schritt 13.1.2.2

Dividiere $\sec (2 x)$ durch $1$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{\frac{- 2}{2}} + C$

Schritt 13.1.3

Um $- \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} - \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \cdot \frac{2}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

Schritt 13.1.4

Kombiniere $- \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x)}{2} + \frac{- \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \cdot 2}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

Schritt 13.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2}) \cdot 2}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

Schritt 13.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{- 2}{2}} + C$

Schritt 13.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 13.1.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{2 \cdot - 1}{2}} + C$

Schritt 13.1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} + C$

Schritt 13.1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} + C$

Schritt 13.1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{\frac{- 1}{1}} + C$

Schritt 13.1.7.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{- 1} + C$

Schritt 13.1.8

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2} + C$

Schritt 13.1.9

Schreibe $- 1 \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}$ als $- \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2}$ um.

$- \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2} + C$

Schritt 13.2

Schreibe $- \frac{\sec (2 x) \tan (2 x) - 2 \sec (2 x) (- x + \frac{\tan (2 x)}{2})}{2} + C$ als $- \frac{\sec (2 x) \cdot 2 x}{2} + C$ um.

$- \frac{\sec (2 x) \cdot 2 x}{2} + C$

Schritt 13.3

Vereinfache.

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Schritt 13.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sec (2 x)$ .

$- \frac{2 \cdot \sec (2 x) x}{2} + C$

Schritt 13.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \sec (2 x) x}{2} + C$

Schritt 13.3.2.2

Dividiere $\sec (2 x) x$ durch $1$ .

$- (\sec (2 x) x) + C$

$- \sec (2 x) x + C$