Analysis Beispiele

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{x}}$

Schritt 1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1

Vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1}{x^{2} x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int \frac{1}{x^{2 + \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 1.1.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 1.1.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}} d x$

Schritt 1.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}} d x$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{4 + 1}{2}}} d x$

Schritt 1.1.2.5.2

Addiere $4$ und $1$ .

$\int \frac{1}{x^{\frac{5}{2}}} d x$

Schritt 1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1

Bringe $x^{\frac{5}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int x^{\frac{5}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 1.2.2.2

Multipliziere $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $- 1$ .

$\int x^{\frac{5 \cdot - 1}{2}} d x$

Schritt 1.2.2.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\int x^{\frac{- 5}{2}} d x$

Schritt 1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int x^{- \frac{5}{2}} d x$

Schritt 2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{5}{2}}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C$

Schritt 3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1

Schreibe $- \frac{2}{3} x^{- \frac{3}{2}} + C$ als $- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + C$ um.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3} + C$

Schritt 3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2}{3 x^{\frac{3}{2}}} + C$