Analysis Beispiele

$\frac{5}{1 + 2 t}$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \frac{1}{1 + 2 t} d t$

Schritt 2

Sei $u = 1 + 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 1 + 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $1 + 2 t$ .

$\frac{d}{d t} [1 + 2 t]$

Schritt 2.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 2 t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [2 t]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 2.1.2.2

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 + 2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 2 \cdot 1$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$0 + 2$

Schritt 2.1.4

Addiere $0$ und $2$ .

$2$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$5 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$5 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Schritt 3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$5 \int \frac{1}{2 u} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $5$ .

$\frac{5}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{5}{2} (\ln (| u |) + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

$\frac{5}{2} \ln (| u |) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $1 + 2 t$ .

$\frac{5}{2} \ln (| 1 + 2 t |) + C$