Analysis Beispiele

$\frac{5 x + 2}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{5 x + 2}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Schritt 2

Bringe $x^{\frac{1}{3}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (5 x + 2) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Schritt 3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Schritt 3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (5 x + 2) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $- 1$ .

$\int (5 x + 2) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Schritt 3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int (5 x + 2) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 4

Multipliziere $(5 x + 2) x^{- \frac{1}{3}}$ aus.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\int 5 x \cdot x^{- \frac{1}{3}} + 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\int 5 (x^{1} x^{- \frac{1}{3}}) + 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 5 x^{1 - \frac{1}{3}} + 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 4.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\int 5 x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int 5 x^{\frac{3 - 1}{3}} + 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 4.6

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\int 5 x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5 x^{\frac{2}{3}} d x + \int 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 6

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int x^{\frac{2}{3}} d x + \int 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + \int 2 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 2 \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 2 (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$5 (\frac{3}{5}) x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{3}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{5} x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{15}{5} x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $5$ .

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Schritt 10.2.3.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$\frac{5 \cdot 3}{5} x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 \cdot 3}{5 (1)} x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 1} x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{1} x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10.2.3.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 x^{\frac{5}{3}} + 2 (\frac{3}{2}) x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{2}$ .

$3 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 \cdot 3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 x^{\frac{5}{3}} + \frac{6}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 10.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$3 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 \cdot 3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{\frac{5}{3}} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{\frac{5}{3}} + \frac{3}{1} x^{\frac{2}{3}} + C$

Schritt 10.2.6.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 x^{\frac{5}{3}} + 3 x^{\frac{2}{3}} + C$