Analysis Beispiele

$e^{- t}$

Schritt 1

Sei $u = - t$ . Dann ist $d u = - d t$ , folglich $- d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = - t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $- t$ .

$\frac{d}{d t} [- t]$

Schritt 1.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- t$ nach $t$ gleich $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int - e^{u} d u$

Schritt 2

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int e^{u} d u$

Schritt 3

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C)$

Schritt 4

Vereinfache.

$- e^{u} + C$

Schritt 5

Ersetze alle $u$ durch $- t$ .

$- e^{- t} + C$